1、课时素养检测五十四简单的三角恒等变换(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.设是第二象限角,tan =-,且sincos,则cos=()A.-B.C.D.-【解析】选A.因为是第二象限角,且sincos,所以为第三象限角,所以cossin .所以原式=-1.4.化简的结果是()A.-cos 1B.cos 1C.cos 1D.-cos 1【解析】选C.原式=cos 1.5.已知cos=-,0,则cos=()A.-B.C.D.-【解析】选B.因为cos=2cos2-1=-,所以cos=,又因为0,所以cos=.【补偿训练】若,cos 2=-,则sin =()A.B.C.D.【
2、解析】选B.由cos 2=1-2sin2,所以-=1-2sin2,所以sin =.6.m=2sin 18,若m2+n=4,则=()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.=2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.计算cos815-sin815=_.【解析】由平方差公式,得cos815-sin815=(cos415+sin415)(cos415-sin415)=(cos415+sin415)(cos215+sin215)(cos215-sin215)=(cos415+sin415)cos 30=(cos215+sin215)2-2cos215sin215=.答案:8.计算sincos=_.【解析
3、】方法一:sincos=-=.方法二:sincos=coscos=coscos=cos2=-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知tan=,tan tan =,求cos(-)的值.【解析】因为tan tan =,所以cos(-)=-cos(+).又tan=,所以cos(+)=-,从而cos(-)=-=.10.已知函数f(x)=2sin2-cos 2x,x.(1)求函数f(x)的值域.(2)若不等式|f(x)-m|2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知,f(x)=2sin2-cos 2x=1-cos-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=1+2sin,由x,
4、得2x-,由于函数g(t)=sin t在上递增,在上递减,且g=1,g=g=,所以g(t),所以f(x)=1+2sin2,3,所以函数f(x)的值域为2,3.(2)不等式|f(x)-m|2恒成立,即f(x)-2mf(x)+2恒成立,所以f(x)-2maxmf(x)+2min,所以1macB.abcC.acbD.cba【解析】选A.由于a=cos 7+sin 7=sin 30cos 7+cos 30sin 7=sin 37,b=tan 38,c=sin 36,根据三角函数的正弦线,余弦线和正切线,得tan 38sin 38sin 37sin 36,所以bac .4.(多选题)下列叙述正确的是()
5、A.对于任意,sin =B.当在第一象限时,sin =C.当在第二象限时,sin =D.若sin =,则在第一或第二象限【解析】选B、C.由cos 2=1-2sin2,得sin2=,两边开平方,得|sin | =,所以sin =,当在第一象限、第二象限或的终边在y轴非负半轴上时,sin =;当在第三象限、第四象限或的终边在y轴非正半轴上时,sin =-.二、填空题(每小题5分,共20分)5.等腰三角形顶角的余弦值为,那么这个三角形的一个底角的余弦值为_.【解析】设等腰三角形的底角为,顶角为,则=-,cos =,所以cos =cos=sin=.答案:6.函数y=的最小正周期为_.【解析】 y=t
6、an,最小正周期是T=.答案:7.若是第三象限角,且sincos +sin cos=-,则tan=_.【解析】由sincos +sin cos=-,可得:sin =-,因为是第三象限角,所以cos =-,所以tan=-5.答案:-58.已知sin =+cos ,且,则=_.【解析】由sin =+cos ,得sin -cos =.又因为(sin +cos )2+(sin -cos )2=2,所以(sin +cos )2=2-(sin -cos )2=,所以sin +cos =.所以=-(cos +sin )=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的
7、非负半轴重合,终边经过点P(-3,).(1)求的值.(2)求tan 2+tan的值.【解析】(1)由题意得sin =,cos =-,tan =-.原式=-.(2)tan 2=-,tan=2+.tan 2+tan=2.10.若角的终边在第三象限,且tan 2=-2,求sin2-sin(3+)cos(+)-cos2.【解题指南】由条件利用二倍角的正切公式求得tan 的值,再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值.【解析】角的终边在第三象限,tan 2=-2,所以tan =或tan =-(舍去).则sin2-sin(3+)cos(+)-cos2=sin2-sin cos -cos2=.
8、11.设函数f(x)=2sin cos2+cos sin x-sin (0)在x=处取得最小值.(1)求的值.(2)已知函数g(x)和函数f(x)关于点对称,求函数g(x)的单调增区间.【解析】(1)f(x)=2sin cos2+cos sin x-sin =2sin +cos sin x-sin =sin +sin cos x+cos sin x-sin =sin xcos +cos xsin =sin(x+). 因为函数f(x)在x=处取最小值,所以sin(+)=-1,由诱导公式知sin =1,因为0,所以=.(2)由(1)知f(x)=sin=cos x.因为函数g(x)和函数f(x)关于点对称,所以g(x)=2b-f=2b-cos=2b-cos,由不等式2kx-+2k,kZ,得到2k+x+2k,kZ,所以函数g(x)的单调增区间为(kZ).