1、课时素养检测五十五简单的三角恒等变换(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.sin 15+sin 75=()A.B.1C.D.【解析】选C.sin 15+sin 75=sin 15+cos 15=2sin=.2.已知sin=,则cos2的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为sin=,所以cos2=cos2=sin2=.3.sin 75=()A.B.1C.D.【解析】选C.原式=sin 75=sin 75=2sin 75=2sin 75=2sin 75=.4.(多选题) 下列等式正确的是()A.2sin 45
2、cos 15=sin 60+sin 30B.2sin 45cos 15=sin 60-sin 30C.2cos 45cos 15=cos 60+cos 30D.2sin 45sin 15=cos 60-cos 30【解析】选A、C.由和差化积公式,sin +sin =2sincos,sin -sin =2cossin,cos +cos =2coscos,cos -cos =-2sinsin,可知选项A,C正确.5.若sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是()A.3m5B.-5m5C.3m0,若f(x)在(0,)上存在3个不同的x0,使f(x0)=1,则的取值范围是()A.B.C.
3、D.【解析】选A.函数f(x)=sin x+cos x=2sin,x(0,),令x+=t,则t,由2sin t=1,得sin t=,得t=,依题意,得+,即,解得.二、填空题(每小题5分,共10分)7.计算的值等于_.【解析】由sin 47=sin(30+17)=sin 30cos 17+sin 17cos 30知,原式=.答案:8.计算:-64cos210=_.【解析】-64cos210=-64cos210=-64cos210=-64cos210=-64cos210=32cos 20-64=-32.答案:-32三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算:2sin 50+sin 10(1+t
4、an 10).【解析】原式=cos 10=2(sin 50cos 10+cos 50sin 10)=2sin 60=.10.已知, ,且cos =-.(1)求tan的值.(2)若sin=,求sin 的值.【解析】(1)因为cos =-,所以sin =,因此tan =-,所以tan=-7.(2)因为, ,所以-,又sin=,所以0-0)个单位长度后得到g(x-)=2sin=2sin=f(x)的图象,所以x-+=2k+x+,kZ,此时,=-2k-,kZ,当k=-1时,有最小值为.答案:7.sin 12sin 24sin 48sin 84=_.【解析】sin 12sin 24sin 48sin 84
5、=(cos 60-cos 36)(cos 108-cos 60)=.答案:8.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=_来截.【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,又a=GC+CF=bsin x+bcos x所以sin x+cos x=,所以sin=.因为0x,x+,所以x+=或,x=或.答案:或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围,而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)求tan 20+tan 25+tan 20tan
6、 25的值.(2)证明=.【解析】(1)1=tan 45=tan=.所以tan 20+tan 25=1-tan 20tan 25,故tan 20+tan 25+tan 20tan 25=1-tan 20tan 25+tan 20tan 25=1.(2)左侧=1+=1+,右侧=1+,所以左侧=右侧,得证.10.已知正实数a,b满足=tan,求的值.【解析】方法一:由题设得=tan=.方法二:因为asin+bcos=sin,acos-bsin=cos,其中tan =,由题设得tan=tan.所以+=k+,kZ,即=k+,kZ,所以=tan =tan=tan=.方法三:原式可变形为=tan,令tan =,则有=tan=tan,由此可得+=k+(kZ),所以=k+,(kZ),所以tan =tan=tan=,即=.