1、第二章 圆锥曲线与方程24 抛物线24.1 抛物线的标准方程第二章 圆锥曲线与方程 1.了解抛物线的形成过程 2.理解抛物线的标准方程的推导思想 3.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的_的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_距离相等焦点准线栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程 y22px(p0)_xp2 y22px(p0)(p2，0)_(p2，0)xp
2、2栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程图形标准方程焦点坐标准线方程 x22py(p0)_yp2x22py(p0)(0，p2)_(0，p2)yp2栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()(2)抛物线的方程都是 y 关于 x 的二次函数()(3)方程 x22ay(a0)是表示开口向上的抛物线()栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2抛物线 x18y2 的焦点坐标是()A(2，0)B(2，0)C0，13
3、2D0，132答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程3抛物线 x24y 的准线方程是()Ax1 Bx1Cy1 Dy1答案：D栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程4设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x答案：B5以 F0，34 为焦点的抛物线的标准方程是_答案：x23y栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，2)；(2)焦点在直线 x2y40 上栏目导引探
4、究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】(1)当抛物线的焦点在 x 轴上时，可设抛物线方程为 y22px(p0)，把点(3，2)代入得 222p(3)，所以 p23，所以所求抛物线方程为 y243x.当抛物线的焦点在 y 轴上时，可设抛物线方程为 x22py(p0)，把(3，2)代入得(3)22p2，所以 p94，所以所求抛物线方程为 x292y.综上，所求抛物线的方程为 y243x 或 x292y.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)直线 x2y40 与 x 轴的交点为(4，0)，与 y 轴的交点为(0，2)，故抛物线焦点
5、为(4，0)或(0，2)，当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为 y22px(p0)，因为p24，所以 p8，所以抛物线方程为 y216x；当焦点为(0，2)时，设抛物线方程为 x22py(p0)，因为p22，所以 p4，所以抛物线方程为 x28y.综上，所求抛物线的方程为 y216x 或 x28y.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)求抛物线的标准方程时需注意的三个问题把握开口方向与方程间的对应关系 当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2
6、mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数 注意 p 与p2的几何意义 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 分别根据下列条件求抛物线的标准方程(1)准线方程为 y23；(2)焦点在 x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是 5.解：(1)因为抛物线的准线平行于 x 轴，且在 x 轴上面，且p223，则 p43.所以所求抛物线的标准方程为 x283y.(2)由焦点到准线的距离为 5，知 p5，又焦点在 x 轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为 y210 x.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 抛物线定义的应用
7、(1)若动圆 M 与圆 C：(x2)2y21 外切，又与直线x10 相切，求动圆圆心的轨迹方程(2)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(0，2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】(1)设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2，0)，半径 r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆 M 与已知直线 x10 相切，所以圆心 M 到直线 x10 的距离 dR.所以|MC|d1.即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x20 的距离 由抛物线的
8、定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x20 为准线的抛物线，且p22，p4，故其方程为 y28x.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P 点、(0，2)点和抛物线的焦点12，0 三点共线时距离之和最小，所以最小距离 d0122(20)2 172.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 1若将本例(2)中的点(0，2)改为点 A(3，2)，求|PA|PF|的最小值解：将 x3 代入 y22x，得 y 6.所以 A 在抛物线内部 设P为其上一点，P
9、到准线(设为l)x12的距离为 d，则|PA|PF|PA|d.由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值是72.即|PA|PF|的最小值是72.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2若将本例(2)中的点(0，2)换为直线 l1：3x4y720，求点P 到直线 3x4y720 的距离与 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q，|PA1|PQ|PA1|PF|A1F|min.A1F 的最小值为 F 到直线 3x4y720 的距离 d3127232(4)21.即所求最小值为 1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预
10、习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 若抛物线 y22px(p0)上有一点 M，其横坐标为9，且点 M 到焦点 F 的距离为 10，求点 M 的坐标解：由抛物线方程 y22px(p0)，得焦点坐标为 Fp2，0，准线方程为 xp2.
11、设点 M 到准线的距离为 d，则 d|MF|10，即p2(9)10，得 p2，故抛物线方程为 y24x.设点 M 的纵坐标为 y0，由点 M(9，y0)在抛物线上，得 y06，故点 M的坐标为(9，6)或(9，6)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 与抛物线相关的应用问题 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽 8 米一木船宽 4 米，高 2 米，载货的木船露在水面上的部分为 0.75 米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】以桥的拱顶为坐标原点，
12、拱高所在的直线为 y 轴建立直角坐标系(如图)设抛物线的方程是 x22py(p0)，由题意知 A(4，5)在抛物线上，故 162p(5)p85，则抛物线的方程是 x2165 y(4x4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 B、B时，木船开始不能通航设 B(2，y)，所以 22165 yy54.故当水面上涨到与抛物线形拱桥的拱顶相距54342 米时，木船开始不能通航栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 求解抛物线实际应用题的五个步骤 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶部 A 处
13、，喷出的水流的最高点为 B，距地面 5 m，且与管柱 OA 相距 4 m，水流落在以 O 为圆心，半径为 9 m 的圆上，求管柱 OA 的长解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x22py(p0)又点 C(5，5)在抛物线上，所以 252p(5)，2p5，即 x25y.点 A(4，y0)在抛物线上，所以 165y0，y0165 3.2，所以|OA|53.21.8(m)，即管柱 OA 的长是 1.8 m.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永远大于 0.特别注意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时
14、，不要出现错误如 y24x.其中 p2.2只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式3抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或 y)的取值范围如抛物线 x22y，一次项变量 y0，所以抛物线开口向下栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向(或焦点位置)，当开口方向不确定时，应进行分类讨论为避免讨论，也可设抛物线方程为统一形式，如：当焦点在 x 轴上时，抛物线方程可设为 y22ax(a0)或 y2ax(a0)；当焦点在 y 轴上时，抛物线方程可设为
15、 x22ay(a0)或 x2ay(a0).栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1抛物线 y24x 的焦点坐标是()A(0，2)B(0，1)C(2，0)D(1，0)解析：选 D由题意得 2p4，p2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：选 B由抛物线的方程得p2422，再根据抛物线的定义，可知所求距离为 426.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲
16、线与方程3抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则实数 a 的值为()A18B18C8 D8解析：选 B由 yax2，得 x21ay，14a2，a18.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程4在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O，且过点 P(2，4)，则该抛物线的方程是_解析：由题意可设抛物线方程为 y22ax，因为点 P(2，4)在抛物线上，所以 424a，所以 a4.即所求抛物线的方程为 y28x.答案：y28x栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放