1、22.2.3 公式法 教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程; 2公式法的概念; 3利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1重点:求根公式的推导和公式法的应用 2难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导 教学过程 一、复习引入 (学生活动)用配方法解下列方程 (1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52 (老师点评) (1)移项,得:6x2-7x=-1 二次项系数
2、化为1,得:x2-x=- 配方,得:x2-x+()2=-+()2 (x-)2=x-= x1=+=1 x2=-+= (2)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评) (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题 问题:已知ax2+bx+c=0(a0)且b2-4ac0,试
3、推导它的两个根x1=,x2= 分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解:移项,得:ax2+bx=-c 二次项系数化为1,得x2+x=- 配方,得:x2+x+()2=-+()2 即(x+)2= b2-4ac0且4a20 0 直接开平方,得:x+= 即x= x1=,x2= 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根 (2)这个式子叫做一元二次方程的求根
4、公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根 例1用公式法解下列方程 (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可 解:(1)a=2,b=-4,c=-1 b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240 x= x1=,x2= (2)将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3,b=-5,c=-2 b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490 x= x1=2,x2=- (3)将方程化为一般形式
5、3x2-11x+9=0 a=3,b=-11,c=9 b2-4ac=(-11)2-439=130 x= x1=,x2= (3)a=4,b=-3,c=1 b2-4ac=(-3)2-441=-70 因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根 三、巩固练习 教材P42 练习1(1)、(3)、(5) 四、应用拓展 例2某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程 (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出 你能解决这个问题吗? 分析:能(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同
6、时还要满足(m+1)0 (2)要使它为一元一次方程,必须满足:或或 解:(1)存在根据题意,得:m2+1=2 m2=1 m=1 当m=1时,m+1=1+1=20 当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) 当m=1时,方程为2x2-1-x=0 a=2,b=-1,c=-1 b2-4ac=(-1)2-42(-1)=1+8=9 x= x1=,x2=- 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- (2)存在根据题意,得:m2+1=1,m2=0,m=0 因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-10 所以m=0满足题意 当m2+1=0,m不存在 当m+1=0,即m=
7、-1时,m-2=-30 所以m=-1也满足题意 当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得:x=-1 当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- 五、归纳小结 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 1教材P45 复习巩固4 2选用作业设计: 一、选择题 1用公式法解方程4x2-12x=3,得到( )Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x
8、2+4x+6=0的根是( )Ax1=,x2= Bx1=6,x2=Cx1=2,x2= Dx1=x2=- 3(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ) A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是_,条件是_ 2当x=_时,代数式x2-8x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0 2设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,(1)试推导x1+x2=-,x1x2=
9、;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值 3某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费 (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量(千瓦时)交电费总金额(元) 3 80 25 4 45 10 根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?答案:一、1D 2D 3C二、1x=,b2-4ac0 24 3-3三、1x=ab2(1)x1、x2是ax2+bx+c=0(a0)的两根, x1=,x2= x1+x2=-, x1x2= (2)x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c) =03(1)超过部分电费=(90-A)=-A2+A (2)依题意,得:(80-A)=15,A1=30(舍去),A2=506