1、河北省安平中学2020-2021学年高二数学上学期第三次月考试题（含解析）一、单项选择题1. 命题p：xN，|x+2|3的否定为（ ）A. xN，|x+2|3B. xN，|x+2|3C. xN，|x+2|3D. xN，|x+2|3【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题否定是特称命题，写出结果即可.【详解】因为命题p：xN，|x+2|3是全称命题，所以其否定是特称命题，所以命题p：“xN，|x+2|3”的否定为：xN，|x+2|3.故选：D.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A. B.
2、C. D. 【答案】C【解析】【详解】解：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-10,2-k0,同时2k-12-k,这样解得为选项C3. 已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面平行定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.【详解】,即,不一定有,也可能“”是“”的不充分条件,可以推出,“”是“”是必要条件,综上所述, “”是“”必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.4. 在
3、长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.5. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点
4、的横坐标之和为，则|AB|（ ）A. B. C. 5D. 【答案】D【解析】【详解】由题意得p2，选D6. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D【解析】【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，年的就医费用为元，该教师2018年
5、的家庭总收入元故选D【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7. 函数的极值点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先对求导得，无法判断其符号，通过求二阶导判断其符号，从而得原函数单调性，即可知其极值点个数.【详解】因为，设，所以当时，递增；时，递减，所以的最小值为，所以，故单增，所以无极值点故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，解题关键在于对函数求一阶导数后无法判断其符号，需要对其求二阶导判断一阶导的符号，得原函数的单调性，属于中档题.8. 已知双曲线的两条渐近线分别为
6、直线，直线经过双曲线的右焦点且垂直于，设直线与，分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由已知可得，过F作FG于G，易得，从而，在中，利用勾股定理即可建立之间的关系.【详解】 如图1，由已知，所以，如图2，过F作FG于G，易证，所以，故，从而，在中，所以，化简得，故双曲线离心率为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率的问题，关键是找到之间的关系，建立方程或不等式，本题是一道中档题.二、多项选择题9. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递增B. 函数在区间单调递减C.
7、函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题10. 已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（ ）A. 椭圆的长轴长为B. 椭圆的两个焦点分别为和C. 椭圆的离心率等于D. 若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则【答案】ACD【解析】【分析】椭圆方程化为标准方程，求出，然后判断各选项【详解】由
8、已知椭圆标准方程为，则，长轴长为，A正确；两焦点为，B错误；离心率为，C正确；代入椭圆方程得，解得，D正确故选：ACD11. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）A. ，B. 若有极大值M，极小值m，则必有C. 若是极小值点，则在区间上单调递减D. 若，则是的极值点【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用零点存在性定理解决，对于B、C可根据条件及的单调性判断，对于D利用极值点的概念即可判断.【详解】因为当时，当时，由零点存在性定理知，故A正确；因为，若有极大值M，极小值m，则有两根，不妨设，易得在上单调递增，在，单调递减，所以，故B、C正确；导数为0的点不一定是极值点，故D错误.故选ABC【点
9、睛】本题考查利用导数研究三次函数的性质，涉及到函数的零点、极值、极值点、单调性等性质，是一道中档题.12. 已知点，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使 （ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】ABC【解析】【分析】设，利用求得的最大值和最小值即可得【详解】设，且.因为，将点坐标代入椭圆，得，所以代入上式可得.所以，.对照选项可以取ABC.故选：ABC三、填空题13. 已知椭圆：上两点，若的中点为，直线的斜率等于1，则直线的斜率等于_.【答案】【解析】【分析】设，代入椭圆方程作差，求得直线斜率与斜率之间的关系，从而得结论【详解】设，则，两式相减得，即，所以故答案为：【点睛】结论点睛
10、：是椭圆的弦，是中点，则14. 若，则等于_.【答案】【解析】【分析】求导函数，然后令求得，再求【详解】由已知，所以，所以故答案为：15. 设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为_【答案】15【解析】【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：，由椭圆的定义可得：，则的最大值为15.故答案为：15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 设定义域为的函数满足，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据条件构造函数F（x）
11、，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【详解】设F（x），则F（x），F（x）0，即函数F（x）在定义域上单调递增，即F（x）F（2x），即x1不等式的解为故答案为【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键四、解答题17. （1）若抛物线的焦点在直线上，求此抛物线的标准方程；（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）解出直线与坐标轴的交点坐标，根据焦点坐标设出抛物线的方程，即可求出；（2）写出椭圆的焦点坐标，根据焦点坐标设出双曲线的方程，再结合渐近线方程即可求出.【详解】解：（1）直线
12、与坐标轴的交点为，若焦点为，则抛物线开口向右，设方程为，由，得：，故方程为：；若焦点为，则抛物线开口向下，设方程为，由，得：，故方程为：；抛物线的标准方程为或；（2），椭圆的焦点坐标为：，即双曲线的焦点为：，设双曲线的方程为，则，渐近线方程为，可得：，解得，故双曲线的方程为.18. 已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值【答案】（1）极大值，极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，得到，用导数的方法判断函数单调性，即可确定极值；（2）由（1）先确定函数在上的单调性，再由题中条件，得出，进而可求出最大值.【详解】（1），或当变化时，的变化情况
13、如下表：0200极小值极大值则极大值为，极小值为；（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减又，所以最小值为，即，最大值在或处取，所以在上的最大值为【点睛】本题主要考查导数的方法求函数极值，以及最值，属于常考题型.19. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为中点.（1）如果，求证：平面；（2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）结合为等腰三角形可证，再由线面垂直判定定理可证平面，得到，进而得证；（2）设，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，结合向量表示出线面角的正弦值，结合基本不等式求
14、得值，再由体积公式计算即可【详解】证明：（1）在中，为中点，所以，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面；（2）设，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为，所以，所以，得，令，可得， 所以与平面的法向量所成角的正弦值为（当且仅当，即时等号成立），所以三棱锥的体积【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的证明，由线面角的关系求解具体线段长度，锥体体积公式的应用，具体用到以下方法：（1）线面垂直的证明：常通过证线线垂直证线面垂直，线线垂直常通过几何性质（等腰、等边三角形、矩形、正方形）或勾股定理证明，也可通过线面垂直的性质证线线
15、垂直；（2）已知二面角大小求解具体线段长度或确定动点位置问题常通过建系法求解，合理建系和正确求解点坐标与法向量是解题关键20. 某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利（元）与该周每天销售这些服装件数之间有如下一组数据：345678966697381899091已知，.参考公式： （1）求，；（精确到0.01）（2）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程（精确到0.01）；（3）每天多销售1件，纯利增加多少元？【答案】（1），；（2）；（3）4.75.【解析】【分析】（1）由均值公式求得平均值；（2）根据所给数据求得方程的系数得回归直线方程；（3）在（2）的回归直线方程中的系数即为增加量【详解】
16、（1），.（2）设回归直线方程为，则.所求的回归直线方程为.（3）每天多销售1件，纯利平均增加4.75元.21. 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限若的面积是面积的2倍，求的值【答案】（1）；(2)【解析】【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而所以，椭圆的方程为（II）设点P坐标为，
17、点M的坐标为，由题意，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即易知直线的方程为，由方程组消去y，可得由方程组消去，可得由，可得，两边平方，整理得，解得，或当时，不合题意，舍去；当时，符合题意所以，的值为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22. 已知函数.（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若对任意的都有成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析；(3).【解析】【详解】试题分析：当时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出曲线在处的切线方程；求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调性；根据函数的单调性求出函数的最小值，即实数的取值范围解析：（1），所求切线方程为. （2）当时，在递增当时，在递减，递增当时，在递增，递减，递增当时，在递增，递减，递增.（3）由得注意到，于是在递减，递增，最小值为0所以，于是只要考虑，设，注意到，于是在递增所以在递增于是.