1、第2课时平面与平面垂直1.了解面面垂直的定义.(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理.(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题.(难点)教材整理1平面与平面垂直的判定阅读教材P52P53“第12自然段”内容，完成下列问题.1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：图1256记作：.2.判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()A.mn，m，nB.mn，m，nC.mn，n，mD.mn，m，n【解析】因为m
2、n，n，则m，又m，故，所以C正确.【答案】C教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P53“第13自然段”“例4”以上内容，完成下列问题.文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言a图形语言设平面平面，在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直【解析】当，在平面内垂直交线的直线才垂直于平面，因此，垂直于平面内的一条直线b的直线不一定垂直于，故选C.【答案】C平面与平面垂直的判定如图1257所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA
3、2BD，M是EA的中点，求证：图1257(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.【精彩点拨】(1)要证DEDA，只需证明RtEFDRtDBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.【自主解答】(1)取EC的中点F，连接DF.ECBC，易知DFBC，DFEC.在RtEFD和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtEFDRtDBA.EDDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，MNBD，N点在平面BDMN内.EC平面ABC，
4、ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA.即平面BDM平面ECA.(3)BDEC，MNEC.MNBD为平行四边形.DMBN.由(2)知BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.1.证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点
5、是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.1.如图1258所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，CDAD.求证：平面PDC平面PAD. 【导学号：45722057】图1258【证明】PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.又CD平面PDC.平面PDC平面PAD.面面垂直性质定理的应用如图1259所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.图1259(1)若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB
6、.【精彩点拨】(1)(2)要证ADPB，只需证AD平面PBG即可.【自主解答】(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知DAB60，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如图，连接PG.PAD是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由(1)知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG.ADPB.1.证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理.(2)面面垂直的性质定理.(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面).(4)若a，则a(a为直线，为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将
7、面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.2.如图1260所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.图1260【证明】平面VAB底面ABCD，且BCAB.BC平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC.平面VBC平面VAC.垂直关系的综合应用探究1如图1261所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，你能证明PD平面ABCD吗？图1261【提示】PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC.同理可证PDAD，A
8、D平面ABCD，DC平面ABCD，且ADDCD，PD平面ABCD.探究2如图1262所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PACD.图1262【提示】连接CO，由3ADDB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，ACCB，由ACBC知，CAB60，ACO为等边三角形，从而CDAO.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，PACD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转
9、化关系.【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图1263所示，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：图1263(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA底面ABCD；(2)可证BEAD，从而得BE平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理.【自主解答】(1)因为平面PAD底面ABCD，且PAAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为B
10、E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又ADPAA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.1.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；
11、(3)直线必须垂直于它们的交线.3.如图1264所示，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点.图1264(1)求证：EF平面PAB；(2)若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90.求证：平面PEF平面PBC. 【导学号：45722058】【证明】(1)E，F分别为AC，BC的中点，EFAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.(2)PAPC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEBC.又F为BC的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，BC平面PEF.又BC平面PBC，平面PBC平面PEF.1.下列命题中错误的是()A.如
12、果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的.【答案】D2.空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面DBC【解析】【答案】D3.在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点，当点M满足_时，平面MBD
13、平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接AC，因为PA底面ABCD，所以PABD，因为四边形ABCD的各边相等，所以ACBD，且PAACA，所以BD平面PAC，即BDPC，要使平面MBD平面PCD，只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DMPC(或BMPC)；故填DMPC(或BMPC).【答案】DMPC(或BMPC)4.下列四个命题中，正确的序号有_.，则；，则；，则；，则.【解析】不正确，如图所示，但，相交且不垂直.【答案】5.在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa，求证：平面ABD平面BCD.【证明】如图所示，ABD与BCD是全等的等腰三角形，取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.AEC为二面角ABDC的平面角.在ABD中，ABa，BEBDa，AEa.同理CEa.在AEC中，AECEa，ACa，由于AC2AE2CE2，AECE，即AEC90，平面ABD平面BCD.