1、第2讲空间向量与立体几何1(仿2011北京，16)长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B2(仿2011江苏，22)如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABC-OABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为()A.a B.a Ca D.a解析由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0
2、)，A(a,0，a)，F，E.|EF|a.答案B3(仿2012陕西，5)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. B. C. D.解析以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.答案D4(仿2013安徽，10)在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 ()A30 B45 C60
3、 D90解析取BC中点E，连接AE，则AE平面BCC1B1，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角，设各棱长为a，则AEa，DEa. tanADE.ADE60.故选C.答案C5(仿2011辽宁，8)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥A-BEF的体积为定值D异面直线AE，BF所成的角为定值解析AC平面BB1D1D，又BE平面BB1，D1D.ACBE，故A正确B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD，故B正确C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故
4、BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F，(0，1,1)，.又|，|，cos，.此时异面直线AE与BF成30角当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，(0,0,1)，1，|，cos，故选D.答案D6(仿2011辽宁，8)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐
5、标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.则，cos，.答案.7(仿2013山东，4)正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 设ODSOOAOBOCa(a0)，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案308(仿2012辽宁，18)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M
6、、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_解析分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案平行9(仿2013广东，18)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C；(3)求二面角B-AB1-C的大小(1)证
7、明建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，)，(1，1，)，又点B(2,2,0)，M(1,1，)，(1，1，)，又OD1与BM不共线，OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)证明连接OB1.(1，1，)(1,1，)0，(1，1，)(2,2,0)0，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C.(3)解CBAB，CBBB1，CB平面ABB1，(2,0,0)为平面ABB1的一个法向量由(2)知为平面AB1C的一个法向量cos，与的夹角为60，即二面角B-AB1-C的大小为60.10(仿2013北京，17)如图，ABCD
8、是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成的角为60. (1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角F-BE-D的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论(1)证明DE平面ABCD，DEAC，四边形ABCD是正方形，ACBD，又DEBDD，AC平面BDE.(2)解DE平面ABCD，EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即EBD60.由AD3，得BD3，DE3，AF.如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0，3)，B(3,3,0)，C(0，3,0)(0，3，)，(3,0，2)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则n(4,2，)AC平面BDE，(3，3,0)为平面BDE的一个法向量，cosn，结合图形知二面角F-BE-D的余弦值为.(3)解依题意，设M(t，t,0)(0t3)，则(t3，t,0)，AM平面BEF，n0，即4(t3)2t0，解得t2.点M的坐标为(2,2,0)，此时，点M是线段BD上靠近B点的三等分点