1、61垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定 预习课本P3637，思考并完成以下问题(1)直线与平面垂直的定义是怎样的？ (2)直线与平面垂直的判定定理是什么？ 1直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直点睛关于直线与平面垂直的定义的理解(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法2直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内
2、的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示 .(3)符号语言：a，b，abA，la，lbl.点睛判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若ab，a，l，则lb.()(3)若ab，b，则a.()答案：(1)(2)(3)2若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC答
3、案：C3已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个 B有两个C有无数个 D不存在答案：C4一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定答案：B直线与平面垂直关系的判断典例下列命题中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条直线垂直，则l；如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0B1C2 D3解析当内的两条直线平行时，l与不一定垂直，故不对；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与垂直，故不对；当l与不垂直时，l可能与内的无数条直
4、线垂直，故不对；正确故选B.答案B解决此类问题常用的方法(1)依据定义、定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选活学活用如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件故填.答案：直线与平面垂直的证明 典例如图所示，RtABC所在的平面外一点S，SASBSC，点
5、D为斜边AC的中点求证：直线SD平面ABC. 证明SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC.连接BD，在RtABC中，则ADDCBD， ADSBDS，SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.一题多变1变条件，变结论在本例中，若ABBC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系解：ABBC，点D为斜边AC的中点，BDAC.又由典例知SD平面ABC，SDBD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD平面SAC.2变条件，变结论将本例改为：已知四棱锥PABCD的底面是菱形，且PAPC，PBPD.若O是AC与BD的交点，求证：PO平面ABCD.证明：在PBD中，PBPD，O为BD的中点，PO
6、BD.在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC，又ACBDO，PO平面ABCD.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面层级一学业水平达标1若直线a平面，b，则a与b的关系是()Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交CabDa与b不一定垂直解析：选C过直线b作一个平面，使得c，则bc.因为直线a平面，c，所以ac.因为bc，所以ab.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.2已知m和n是两条
7、不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且mBmn，且nCmn，且n Dmn，且n解析：选BA中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C、D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.3下列四个命题中，正确的是()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直A B
8、C D解析：选D不正确4.如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定解析：选CBA，l，l，BAl.同理BCl.又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.5若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( )A有且只有一个 B可能存在，也可能不存在C有无数多个 D一定不存在解析：选B当l1l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在6在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件_时，有VCAB.(注：填上你认为正确的条件即可)解析：只要VC平面VAB，即有VC
9、AB；故只要VCVA，VCVB即可答案：VCVA，VCVB(答案不唯一，只要能保证VCAB即可)7如图所示，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析：(1)因为PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)BCA90，即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC.又AP平面PAC，所以BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是_ 解析：如图所示，作PDBC于D，连接AD.PA平面
10、ABC，PABC.又PDPAP，CB平面PAD，ADBC.在ACD中，AC5，CD3，AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，PD4.答案：49如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，PC平面BEF.10如图，正方体ABCDA1B1C1D1中求证：BD1平面AB1C. 证明：连接BD，则BDAC.又DD1平面A
11、BCD，AC平面ABCD，DD1AC.又DD1BDD，AC平面BDD1.BD1平面BDD1，ACBD1.同理B1CBD1.又ACB1CC, BD1平面AB1C.层级二应试能力达标1直线l平面，直线m，则l与m不可能( )A平行B相交C异面 D垂直解析：选A直线l平面，l与相交又m，l与m相交或异面由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C B平面A1DB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB答案：B3如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )AA1D
12、 BAA1CA1D1 DA1C1解析：选D由题易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，A1C1B1O.4已知两条直线m，n，两个平面，给出下列四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确命题的序号是( )A BC D解析：选C正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此是错误的；对于，直线n也可能位于平面内，因此是错误的；对于，由m且，得m，又mn，故n，因此是正确的5设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，给出下列命题：若l，则l与相交；若m，n，lm，ln，则l；若lm，mn，l，则n；若lm，m
13、，n，则ln.其中正确命题的序号为_解析：显然正确；对，只有当m，n相交时，才有l，故错误；对，由lm，mnln，由l，得n，故正确；对，由lm，ml，再由nln，故正确答案：6如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为_解析：AA1平面ABC，BC平面ABC，BCAA1.ABC90，BCAB.又ABAA1A，BC平面AA1B1B.又AM平面AA1B1B，AMBC.答案：垂直7如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM.证明：设圆O所在的平面为，PA，且BM，PA
14、BM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM.由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM，BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM.8如图，在三棱锥ABCD中，ABCD，ADBC.求证：ACBD.证明：过A作AG平面BCD于G，连接BG，则AGCD.又ABCD，AGABA，CD平面ABG.BG平面ABG，CDBG.连接DG，同理DGBC，G是BCD的垂心连接CG，则CGBD，又AGBD，AGCGG，BD平面ACG，又AC平面ACG，ACBD.第二课时平面与平面垂直的判定预习课本P3739，思考并完成以下问题(1)二面角的概念是什么？如何求二面角的平面角？
15、(2)平面与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？ 1二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作：二面角面AB.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点O为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱l的两条射线OA，OB，则这两条射线所成的角AOB叫作二面角的平面角(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角(6)二面角的取值范围为0180.点睛(1)当二面角的两个
16、半平面重合时，规定二面角的大小为0；(2)二面角的大小为90时，两个平面互相垂直(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180.2两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直3两个平面互相垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符合语言：.点睛对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直，这
17、体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若l，则过l有无数个平面与垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90.()(3)若，a，b，则ab.()答案：(1)(2)(3)2在二面角 l的棱l上任选一点O，若AOB是二面角l的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，BODAOl，BOl，且AO，BO答案：D3如图，在正方体ABCDABCD中，二面角DABD的大小为_答案：45平面与平面垂直的判定典例如图所示，在四面体ABCS中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.
18、求证：平面ABC平面SBC.证明法一利用定义证明因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，设其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形 取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二利用判定定理证明因为SASBSC，且证明BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为
19、SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC.(1)证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直活学活用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面AA1
20、C1C.证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD.又在正方形ABCD中，ACBD，又ACAA1A，BD平面AA1C1C.又BD平面A1BD，平面A1BD平面AA1C1C.二面角的求法典例如图，三棱锥VABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，试画出二面角VABC的平面角，并求它的大小解如图，取AB的中点D，连VD，CD.VAVBACBC，VDAB，CDAB.VDC就是二面角VABC的平面角在VAB中，VAVB2，AB2，VD1.同理CD1.又VC1，VCD为等边三角形VDC60.即二面角VABC的平面角的大小是60.求二面角的三种方法(1)
21、定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法活学活用如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角ABCO的大小解：如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为点D，连接AD，设COa.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面AOD.而AD平面AOD，ADBC，ADO是二面角ABCO的平面角由AO，OB，OC，知AOOB，AO
22、OC.ABO30，ACO45，COa，AOa，ACa，AB2a.在RtABC中，BAC90，BCa，ADa.在RtAOD中，sinADO.ADO60，即二面角ABCO的大小是60.线面、面面垂直的综合问题典例如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPB于E，AFPC于F，求证：(1)平面AEF平面PBC；(2)PBEF.证明(1)AB是O的直径，C在圆上，ACBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又ACPAA，BC平面PAC.又AF平面PAC， BCAF.又AFPC，PCBCC，AF平面PBC.又AF平面AEF，平面AEF平面PBC.(2)由(1)知AF平面PBC
23、，AFPB.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.又EF平面AEF，PBEF.线线、线面、面面垂直的相互转化解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化的关系，即线线垂直线面垂直面面垂直 活学活用如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD.证明：(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2.则PDDC.同理可证PDAD.又ADDCD，且AD，DC平面ABCD，PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，又AC平面ABCD，PDAC.四边形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，且P
24、D，BD平面PBD，AC平面PBD.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.层级一学业水平达标1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若ab，a，则bB若，a，则aC若，a，则aD若ab，a，b，则解析：选DA错，可能b；B错；C错，可能a.只有D正确2已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是()A，Ba，ba，bCa，a Da，a解析：选D由a，知内必有直线l与a平行而a，l，.3从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是()A60 B120C60或120 D不确定解析：选C若点P在二面角内，
25、则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.4如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，CD平面ABD，从而CDAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.5.如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A1对B2对C3对 D5对解析：选DDAAB，D
26、APA，DA平面PAB.同理BC平面PAB，又AB平面PAD，DC平面PAD，平面PAD平面BCD，平面PAB平面ABCD，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对6如果规定：xy，yz，则xz，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面，关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是_解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性答案：平行7如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.解析：取BC中点M，则AMBC，由题意得AM平面BDC，AMD为直角三角形
27、，AMMDa.ADaa.答案：a8如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC1，将ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD平面ACD，则折叠后BC_.解析：由题意知，BDAD，由于平面ABD平面ACD.BD平面ADC.又DC平面ADC，BDDC.连接BC，则BC 1.答案：19如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，EF是SAC的中位线， EFSC.SC平面ABCD，EF平面ABCD.又EF平面EDB.平面EDB平面ABCD.10如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F
28、是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.求证：平面AEC平面AFC.证明：如图，连接BD，设BDAC于点G， 连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.层级二应试能力达标1对于直线m，n和平面，能得出的
29、一个条件是( )Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，n解析：选Cn，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，得.2空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBC解析：选D如图，ADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.3如果直线l，m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且mCm且lm D且解析：选AB错，有可能m与相交；C错，有可能m与相交；D错，有可能与相交4.如图，在四面体PABC中，ABAC，PBPC，D，E，F
30、分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDF平面ABC解析：选D因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为ABC的中位线，则BCDF，依据线面平行的判定定理，可知BC平面PDF，A成立又E为BC的中点，且PBPC，ABAC，则BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知BC平面PAE.因为BCDF，所以DF平面PAE，B成立又DF 平面PDF，则平面PDF平面PAE，C成立要使平面PDF平面ABC，已知AEDF，则必须有AEPD或AEPF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5如图所示，在四棱锥PABCD
31、中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则ACBD，因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA BD.又ACPAA，所以BD平面PAC.因为PC平面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)6如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了_解析：如图所示，因为OAOB，
32、OAOC，OB，OC，且OBOCO，根据线面垂直的判定定理，可得OA，又OA，根据面面垂直的判定定理，可得.答案：面面垂直的判定定理7如图，已知三棱锥PABC，ACB90，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.求证：(1)PA平面PBC；(2)平面PAC平面ABC.证明：(1)因为PDB是正三角形，所以BPD60，因为D是AB的中点，所以ADBDPD.又ADP120，所以DPA30，所以DPABPD90，所以PAPB.又PAPC，PBPCP，所以PA平面PBC.(2)因为PA平面PBC，所以PABC.因为ACB90，所以ACBC.又PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面ABC，所
33、以平面PAC平面ABC.8如图所示，在矩形ABCD中，已知ABAD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接AM，AN，MN，则MNBC.ABAD，E是AD的中点，ABAE，即ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形BCDE中，CDMN，又MNAMM，CD平面AMN.又AN平面AMN，CDAN.DEBC且DEBC，BE必与CD相交AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.62垂直关系的性质预习课本P3941，思考并完成以下问题(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什
34、么作用？ (2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？ (3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？ 1直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行(2)图形语言：(3)符号语言： ab.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线点睛剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2平面和平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两个平面
35、互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(2)图形语言：(3)符号语言： a.(4)作用：面面垂直线面垂直；作面的垂线点睛对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线a和直线c，a，若ca，则c.()(2)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面()(3)如果两个平面互相垂直，那么过交线
36、上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面()(4)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别平行或垂直()答案：(1)(2)(3)(4)2已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是( )Ab BbCb Db与相交答案：C3若平面平面，平面平面，则()A BC与相交但不垂直 D以上都有可能答案：D4若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A直线a垂直于第二个平面B直线b垂直于第一个平面C直线a不一定垂直于第二个平面D过a的平面必垂直于过b的平面答案：C直线与平面垂直的性质及应用典例如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1
37、中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.证明线线平行的五种方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行活学活用如图，已知平面平面l
38、，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明：因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.面面垂直性质定理的应用典例已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.证明如图，在平面PAC内作ADPC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且ADPC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBC.PA平面ABC.BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，又AC平面PAC，BCAC.若所给题目中
39、有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线活学活用如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，G为AD的中点，且DAB60.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明： (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知DAB60，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如图，连接PG.PA
40、D是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由(1)知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG，ADPB.垂直关系的综合应用典例如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：无论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?解(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.CDBC，ABBCB，CD平面ABC.又(01)，无论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，无论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知BEEF，平面BEF平面ACD，平面B
41、EF平面ACDEF，BE平面ACD.又AC平面ACD，BEAC.BCCD1，BCDABD90，ADB60，BD，ABtan 60，AC.由RtAEBRtABC，得AB2AEAC，AE，.故当时，平面BEF平面ACD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的它们之间的转化关系如下：(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题 活学活用如图所示，
42、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：AEDA1；(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE平面DFG？并说明理由解：(1)证明：连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1A，DA1平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，DA1AE.(2)所示G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AEDA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE.又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.层级一学业水平达标1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不
43、在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交B平行C异面 D相交或平行解析：选B由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行2平面平面，直线a，则( )Aa BaCa与相交 D以上都有可能解析：选D因为a，平面平面，所以直线a与垂直、相交、平行都有可能故选D.3已知三个平面，若，且与相交但不垂直，则( )A存在a，a B存在a，aC任意b，b D任意b，b解析：选B因为三个平面，若，且与相交但不垂直，则可知存在a，a，选B.4已知平面，和直线m，l，则下列命题中正确的是()A若，m，lm，则lB若m，l，lm，则lC若，l，则lD若，m，
44、l，lm，则l解析：选D选项A缺少了条件：l；选项B缺少了条件：；选项C缺少了条件：m，lm；选项D具备了面面垂直的性质定理的条件5在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1的位置关系为()A平行 B共面C垂直 D不垂直解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD.BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C.6.如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角
45、三角形的个数为_解析：CACB，O为AB的中点，COAB.又平面ABC平面ABD，交线为AB，CO平面ABD.OD平面ABD，COOD，COD为直角三角形所以图中的直角三角形有AOC，COB，ABC，AOD，BOD，COD共6个答案：67.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_解析：如图，连接BC，二角面l为直二面角，AC，且ACl，AC.又BC，ACBC，BC2AB2AC23，又BDCD，CD.答案：8已知m，n是直线，是平面，给出下列说法：若，m，nm，则n或n；若，m，n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；
46、若m，nm且n，n，则n且n.其中正确的说法序号是_(注：把你认为正确的说法的序号都填上)解析：错，垂直于交线，不一定垂直平面；对；错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；对答案：9.如图：三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC.证明：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.10如图，正方形ABCD和
47、四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EFAC，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，CEAC，且平面ACEF平面ABCDAC，所以CE平面ABCD，所以CEBD.又ACCEC，所以BD平面ACEF，所以CFBD.又BDE
48、GG，所以CF平面BDE.层级二应试能力达标1(安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确2设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下命题：若，则；若，m，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的个数为(
49、)A0B1C2 D3解析：选B中，可能平行，也可能相交，不正确；中，m，m时，只可能有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确综上，可知正确命题的个数为1，故选B.3如图所示，三棱锥PABC的底面在平面上，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点解析：选D平面PAC平面PBC，ACPC，AC平面PAC，且平面PAC平面PBCPC，AC平面PBC.又BC平面PBC，ACBC，ACB90，动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.4在三棱锥PABC中，平面PA
50、C平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A2 B2C4 D4解析：选B如图，连接CM，则由题意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos cos _.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.答案：26如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接A
51、C，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为_解析：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，ABBD，所以AB平面BCD.所以平面ABC平面BCD.在折起前，因为ABBD，ABCD，所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，共3对答案：37如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD90，AD3BC，O是AD上一点(1)若CD平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB平面PCD.解析：(1)CD平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD平面PB
52、OBO，BOCD.又BCAD，四边形BCDO为平行四边形则BCDO，而AD3BC，AD3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点(2)证明：侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，AB底面ABCD，且ABAD，AB平面PAD.又PD平面PAD，ABPD.又PAPD，且PA 平面PAB，AB平面PAB，ABPAA，PD平面PAB.又PD平面PCD，平面PAB平面PCD.8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC的中点，侧面BB1C1C底面ABC.(1)求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AMMA1
53、，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1平面BB1C1C，则AMMA1吗？请叙述你的判断理由解：(1)证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC平面BB1C1C，底面ABC平面BB1C1CBC，AD平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，ADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.AMMA1，NA1A1B1.A1C1A1NA1B1，C1NB1C1，C1N侧面BB1C1C.截面MBC1侧面BB1C1C.(3)结论正确证明如下：过M作MEBC1于点E，连接DE.截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1C.又AD侧面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A四点共面MA侧面BB1C1C，AMDE.四边形AMED是平行四边形，又AMCC1，DECC1.BDCD，DECC1，AMCC1AA1.AMMA1.