1、一轮大题专练2导数（恒成立问题2）1已知函数，（）当时，求证：；（）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围（）证明：令，（1）当时，因为，所以在，上单调递增，且，当时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以，所以；（2）当时，则，所以综上所述，当时，（）解：令，则，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，下证当时，在，上恒成立，因为，令，只需证明在，上恒成立，（1）当时，因为在，上单调递减，所以，所以在，上单调递减，所以，所以在，上单调递减，所以；（2）当时，综上所述，实数的取值范围是，2已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：为自然对数的底数）恒成立解：（1）的定义域为，分当时，恒
2、成立，所以在上单调递增；分当时，令，得到所以，当时，则在上单调递增；当，时，则在，上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减分（2）证明：记函数，则，分易知在上单调递增，又由（1），（2）知，在上有唯一的实数根，分且，则，即，分当时，则在上单调递减，当，时，则在，上单调递增，所以，结合，知，分所以，分则，即，所以为自然对数的底数）恒成立分3已知函数，其中为自然对数的底数，（1）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围；（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围解：（1）对任意的，总存在，使得，在，上单调递增，（1），时，函数在，上单调递增，（1），解得
3、时，不成立，舍去时，函数在，上单调递减，而，舍去综上可得：的取值范围是，（2）函数的图象始终在函数的图象上方，即，也即，令，时，函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去时，函数在上单调递增，存在唯一使得，即，解得的取值范围是，4已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围解：（1）因为函数，所以，当时，在，上单调递减，当时，在，上单调递增，当时，令，解得，当时，故单调递增，当时，故单调递减综上所述，当时，在，上单调递减；当时，在，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，令，又，故不等式等价于对任意恒成立，
4、所以，即，解得，当时，恒成立，故，故当时，对任意恒成立，所以的取值范围为，5已知函数（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；（2）若对任意，不等式成立，求实数的取值集合解：（1），设切点为，则，代入直线得：，即，令，有（1），在单调递增，方程有唯一解，；（2），恒成立，设，则，令，有2个不相等实根，则，不妨设，当，当，在单调递减，在，单调递增，由得到，令，则，当时，当时，则在单调递增，在单调递减，（1），则，故，实数的取值集合是6设函数（）当时，求函数的单调区间；（）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围解：（）当时，所以，令，所以，当时，故为增函数；当时，故为减函数，所以（1），即，所以函
5、数的单调递减区间为，无单调递增区间（）因为，所以且，所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，令，则且（1），当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意；当时，由，得，若，则，故在，上为减函数，在上为增函数，所以存在，使得（1），即时不满足题意；若，则，故在上为减函数，所以（1），所以恒成立，故符合题意综上所述，实数的取值范围是，7已知为自然对数的底数，函数（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；（2）当，时，恒成立，求的取值范围解：（1）因为，由（1），得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增（2）令，当，时，恒成立等价于恒成立，由于，所以当时，函数在，上单调递增，所以，在区间，上恒成立，符合题意，当时，在，单调递增，当时，即时，函数在，单调递增，所以在，恒成立，符合题意，当即时，若，即时，在恒小于0，则在单调递减，不符合题意，若，即时，存在使得，所以当时，则在上单调递减，所以，不符合题意，综上所述，的取值范围是，8已知函数（1）若曲线在点处的切线为，求，；（2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，试求实数的取值范围解：（1）函数的导数，根据函数导数的几何意义，可得（1），即则，点坐标为点在直线上故，（2）当时，关于的不等式在，上恒成立，设，则，由的导数为，可得时，函数递增，时，函数递减，则，即，当时，则在，递增，可得，则