1、 数 学H单元解析几何 H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程14、2014湖北卷 设f(x)是定义在(0，)上的函数，且f(x)0，对任意a0，b0，若经过点(a，f(a)，(b，f(b)的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)1(x0)时，可得Mf(a，b)c，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数(1)当f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14(1)(2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1
2、，k2为正常数)202014江西卷 如图17所示，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值20解：(1)设F(c，0)，因为b1，所以c.由题意，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，所以B.又直线OA的方程为yx，则A，所以kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为
3、y0y1(y00)，即y(y00)因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x的交点为N，则.又P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所以，为定值20，2014四川卷 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标20解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m
4、)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)H2两直
5、线的位置关系与点到直线的距离21、2014全国卷 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程21解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.
6、故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.H3圆的方程9、2014福建卷 设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点
7、间的最大距离是()A5 B. C7 D69DH4直线与圆、圆与圆的位置关系10、2014安徽卷 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab)曲线CP|acos bsin ，0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径图1421解：(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a2b2.由2得|DF1|c.从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.从而|DF1|
8、，由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|，所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y0.由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P
9、1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，知CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆C的半径|CP1|P1P2|x1|.H5椭圆及其几何性质20，2014四川卷 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标20解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标
10、准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1
11、时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)142014安徽卷 设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_14x2y21 19、2014北京卷 已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论19解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证
12、明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x.圆心O到直线AB的距离d，此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d.又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切9、2014福建卷 设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B. C7 D69D解析 设圆心为点C，则圆x2(y6)22的圆心为C(0，6)，半径r.设
13、点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则y1，即x1010y，|CQ|，当y0时，|CQ|有最大值5，则P，Q两点间的最大距离为5r6.20、2014广东卷 已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程9、2014湖北卷 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C3 D29A21、2014湖南卷 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
14、心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值图1721解： (1)因为e1e2，所以，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1，0)，故可设直线AB的方程为xmy1，由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x
15、2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而0b0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_1
16、5.152014辽宁卷 已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_151220、2014辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图16(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线
17、的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)
18、40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.62014全国卷 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.16A20、2014新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程20解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程
19、为y21.(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2时，x1，2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线l的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2.20、2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN
20、在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.20解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程图1520
21、解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，APAQ0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检
22、验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)方法二：若设直线l的方程为xmy1(m0)，比照方法一给分20，2014陕西卷 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程图1520解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为
23、x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，APAQ0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)方法二：若设直线l的方程为xmy1(m0)，比照方法一给分18、2014天津卷 设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F
24、1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率18解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则，所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上，所以1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c.代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(
25、x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4，所以直线l的斜率为4或4.21、2014浙江卷 如图16，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.图1621解：(1)设直线l的方程为ykxm(kb0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在
26、y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径图1421解：(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a2b2.由2得|DF1|c.从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.从而|DF1|，由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|，所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆
27、和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y0.由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，知CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆C的半径|CP1|P1P2|x1|.H6双曲线及其几何性质9、2014湖北卷 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个
28、公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C3 D29A112014北京卷 设双曲线C经过点(2，2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_11.1y2x92014全国卷 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B. C. D.9A19、2014福建卷 已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8
29、.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由图1619解：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2
30、或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得8，即m244(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1， 同理得y2.设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t
31、|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m212或k2.由得(4k2)x22kmxm20，因为4k20，所以x1x2，又因为OAB的面积为8，所以 |OA|OB| sinAOB8，又易知sinAOB，所以8，化简得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得双曲线E的方程为1，由得(4k2)x22kmxm24a20.因为4k20，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以双曲线E的方程为1.当lx轴时，由OAB的面积等于8可得l：x2，又易知l：x2与双曲
32、线E：1有且只有一个公共点综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.42014广东卷 若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等4A解析 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解0k0，25k0.对于双曲线1，其焦距为22；对于双曲线1，其焦距为22.所以焦距相等21、2014湖南卷 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作
33、C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值图1721解： (1)因为e1e2，所以，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1，0)，故可设直线AB的方程为xmy1，由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，P
34、Q的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而00)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线
35、x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值20解：(1)设F(c，0)，因为b1，所以c.由题意，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，所以B.又直线OA的方程为yx，则A，所以kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y(y00)因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x的交点为N，则.又P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所以，为定值42014新课标全国卷 已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为
36、()A. B3C.m D3m4A10，2014山东卷 已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A. xy0 B. xy0 C. x2y0 D. 2xy010A52014天津卷 已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.15A162014浙江卷 设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_16.82014重庆卷 设F1，F2分别为双曲线1(a0，b
37、0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D38BH7抛物线及其几何性质10、2014广东卷 曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_10y5x3102014辽宁卷 已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B. C. D.10D102014新课标全国卷 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A. B3C. D210B19、2014安徽卷 如图14，
38、已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点图14(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值19解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由 得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1，2p2.故，所以A1B1A2B2(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所
39、以A1B1C1A2B2C2，因此.又由(1)中的|知，故.21、2014湖北卷 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围21解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，y1.把y1代入轨
40、迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(i)若由解得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(ii)若或由解得k或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点(iii)若由解得1k或0k0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两
41、点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程21解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y
42、4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.10、2014新课标全国卷 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.10D解析 抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30的直线方程为y，即xy，代入抛物线方程得y23 y0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
43、y1y23 ，y1y2，则SOAB|OF|y1y2|.21，2014山东卷 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由21解：(1)由题意知F.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2，所以抛物线C的方程为y2
44、4x.(2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)所以直线AE过定点F(1，0)由知，直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.
45、设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由y00，得xy2x0.代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4，则ABE的面积S4x0216，当且仅当x0，即x01时，等号成立所以ABE的面积的最小值为16.20，2014陕西卷 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，
46、B)，若APAQ，求直线l的方程图1520解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，APAQ0，即k4(k
47、2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)方法二：若设直线l的方程为xmy1(m0)，比照方法一给分H8直线与圆锥曲线（AB课时作业）21、2014全国卷 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程21解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知
48、l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得
49、m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.19、2014安徽卷 如图14，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点图14(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值19解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由 得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1，2p2.故，所以A1B1A2
50、B2(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2，因此.又由(1)中的|知，故.19、2014北京卷 已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论19解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得
51、t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x.圆心O到直线AB的距离d，此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d.又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切19、2014福建卷 已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双
52、曲线E的方程；若不存在，说明理由图1619解：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.
53、由SOAB|OC|y1y2|，得8，即m244(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1， 同理得y2.设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4
54、(t2a2)0.因为4m212或k2.由得(4k2)x22kmxm20，因为4k20，所以x1x2，又因为OAB的面积为8，所以 |OA|OB| sinAOB8，又易知sinAOB，所以8，化简得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得双曲线E的方程为1，由得(4k2)x22kmxm24a20.因为4k2b0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程21、2014湖北卷 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C
55、的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围21解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(i)若由解
56、得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(ii)若或由解得k或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点(iii)若由解得1k或0k0，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2
57、d2.而00)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值20解：(1)设F(c，0)，因为b1，所以c.由题意，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，所以B.又直线OA的方程为yx，则A，所以kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y(y00)因为直线AF的方程为x2，所以
58、直线l与AF的交点为M，直线l与直线x的交点为N，则.又P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所以，为定值20、2014辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图16(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角
59、形的面积S.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22
60、m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.20、2014新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程20解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2时，x1，2，从而|PQ|x1x2|.又
61、点O到直线l的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2.10、2014新课标全国卷 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.10D解析 抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30的直线方程为y，即xy，代入抛物线方程得y23 y0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23 ，y1y2，则SOAB|OF|y1y2|.20、2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：
62、1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.20解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍
63、去)由3，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)所以直线AE过定点F(1，0)由知，直线AE过焦点F(1，0)
64、，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由y00，得xy2x0.代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4，则ABE的面积S4x0216，当且仅当x0，即x01时，等号成立所以ABE的面积的最小值为16.20，2014陕西卷 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线
65、l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程图1520解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k
66、(1，k2)APAQ，APAQ0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)方法二：若设直线l的方程为xmy1(m0)，比照方法一给分20，2014四川卷 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标20解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(
67、3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)1
68、8、2014天津卷 设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率18解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则，所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上，所
69、以1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c.代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4，所以直线l的斜率为4或4.21、2014浙江卷 如图16，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.图1621解：(1)设直线l的方程为ykxm(k0)，由消去y得(b2
70、a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l与C只有一个公共点，故0，即b2m2a2k20，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为P.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为xky0，所以点P到直线l1的距离d，整理得d.因为a2k22ab，所以ab，当且仅当k2时等号成立所以，点P到直线l1的距离的最大值为ab.H9曲线与方程10、2014安徽卷 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab)曲线CP|acos bsin ，02，区域P|0r|PQ|R，rR若C为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3R Cr1R3 D
71、1r3R10A21、2014湖北卷 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围21解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C
72、恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(i)若由解得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(ii)若或由解得k或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点(iii)若由解得1k或0k0，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2
73、)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而0b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程20解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2时，x1，2，从而|PQ|
74、x1x2|.又点O到直线l的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2.20、2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.20解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的
75、中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02，0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设
76、E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)所以直线AE过定点F(1，0)由知，直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由y00，得xy2x0.代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4，则ABE的面积S4x0216，当且仅当x0，即x01时，等号成立所以ABE的面积的最小值为16.