1、2016-2017学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1A=x|x是小于9的质数，B=x|x是小于9的正奇数，则AB的子集个数是（）A32B16C8D42不等式x22|x|30的解集是（）A（3，3）B（3，1）C（3，0）（0，3）D（1，0）（0，1）3已知，x（0，），则tanx=（）ABCD4已知命题；命题，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知向量=（1，m），=（3，2），且（+），则m=（）A8B6C6D86为了得到函数
2、的图象，只需把y=3sinx上所有的点（）A先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位B先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位C先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移个单位D先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位7已知函数，若x0是方程f（x）=0的根，则x0（）ABCD8已知x，y满足约束条件，目标函数z=x2+y2的最小值为（）A13BCD9设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f（x+4）=f（x），且当x2，0时，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（0a1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）ABCD10已知f（x）的定义域
3、是（0，+），f（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）f（x），则不等式f（2）的解集是（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知f（x）的定义域为1，1，则函数的定义域为12设函数f（x）对x0的实数满足，那么=13在RtABC中，A=90，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=14若正数a，b满足，则的最小值为15定义：f1（x）=f（x），当n2且xN*时，fn（x）=f（fn1（x），对于函数f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得fn（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的
4、最小正周期，x0称为f（x）的n周期点，已知定义在0，1上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是（写出所有正确命题的编号）1是f（x）的一个3周期点；3是点的最小正周期；对于任意正整数n，都有fn（）=；若x0（，1，则x0是f（x）的一个2周期点三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数的最小正周期为（）求f（x）的单调递增区间；（）若a，b，c分别为ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求ABC的面积17已知命题p：函数f（x）=lg（ax2ax+1）的定义域是R；命题在第一象限
5、为增函数，若“pq”为假，“pq”为真，求a的取值范围18已知函数f（x）=，其中m为实数（）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程为3x+3y4=0，求m的值；（）求函数f（x）的单调递增区间19如图，扇形AOB所在圆的半径是1，弧AB的中点为C，动点M，N分别在OA，OB上运动，且满足OM=BN，AOB=120（）设，若，用a，b表示；（）求的取值范围20某工艺品厂要设计一个如图所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图的情况如图，ABCD（ABAD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB交DC于点P，设ADP的面积为S2，折叠后重合部分A
6、CP的面积为S1（）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？（）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？21已知函数f（x）=alnxx+1（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若对任意x（0，+），都有f（x）0，求实数a的取值范围；（）证明（其中nN*，e为自然对数的底数）2016-2017学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1A=x|x是小于9的质数，B=x|x是小于9的正奇
7、数，则AB的子集个数是（）A32B16C8D4【考点】集合的表示法【分析】利用列举法得到AB的元素，然后求其交集【解答】解：A=x|x是小于9的质数=2，3，5，7，B=x|x是小于9的正奇数=1，3，5，7，AB=3，5，7，AB的子集个数是：23=8故选：C2不等式x22|x|30的解集是（）A（3，3）B（3，1）C（3，0）（0，3）D（1，0）（0，1）【考点】其他不等式的解法【分析】根据题意对x进行分类讨论，分别化简不等式后，由一元二次不等式的解法求出解集，最后再并在一起【解答】解：当x0时，不等式x22|x|30为x22x30，解得1x3；当x0时，不等式x22|x|30为x2+
8、2x30，解得3x1；综上可得，不等式的解集是（3，3），故选A3已知，x（0，），则tanx=（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得sinx、cosx的值，进而利用商数关系求得tanx的值【解答】解：，x（0，），两边平方得2sinxcosx=，cosx0（sinxcosx）2=12sinxcosx=，sinxcosx0，sinxcosx=，与，联立解得sinx=，cosx=，tanx=故选：D4已知命题；命题，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件
9、的判断【分析】判断若p则q的充分必要性，只需判断若q则p的充分必要性即可【解答】解：若；则的逆否命题是：若q：sinx=，则p：x=+2k，显然不成立，是假命题，反之，若p则q成立，故q是p的必要不充分条件，则p是q的必要不充分条件，故选：B5已知向量=（1，m），=（3，2），且（+），则m=（）A8B6C6D8【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案【解答】解：向量=（1，m），=（3，2），+=（4，m2），又（+），122（m2）=0，解得：m=8，故选：D6为了得到函数的图象，只需把y=3sinx上所有的点（）A先
10、把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位B先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位C先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移个单位D先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把y=3sinx上所有的点先把横坐标缩短到原来的倍，可得y=3sin2x的图象，然后向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，故选：A7已知函数，若x0是方程f（x）=0的根，则x0（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求函数的定义域，判断函数的单调性，利用函
11、数零点的判断条件进行求解即可【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），且函数在定义域上为减函数，f（1）=0，f（）=0，函数f（x）在（，1）内存在唯一的一个零点x0，x0（，1），故选：B8已知x，y满足约束条件，目标函数z=x2+y2的最小值为（）A13BCD【考点】简单线性规划【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，所以原点到图中AC的距离即为所求，d=，所以目标函数z=x2+y2的最小值为；故选C9设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f（x+4）=f（
12、x），且当x2，0时，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（0a1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由f（x+4）=f（x），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论【解答】解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，当x2，0时， =22x，若x0，2，则x2，0，f（x）是偶函数，f（x）=22x=f（x），即f（x）=22x，x0，2，由f（x）loga（x+2
13、）=0得f（x）=loga（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a1时，要使方程f（x）loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=loga（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，解得：a故a的取值范围是（，），故选：C10已知f（x）的定义域是（0，+），f（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）f（x），则不等式f（2）的解集是（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造新函数g（x）=，通过求导得到g（x）的单调性，所解的不等式转化为求g（x2+x）g（2），结合函数的单调性得到不等式
14、，求解得答案【解答】解：设g（x）=，（x0），f（x）f（x），g（x）=0，g（x）在（0，+）单调递增，由f（2），得，即g（x2+x）g（2），x2+x2，解得：x2或x1不等式f（2）的解集是（，2）（1，+）故选：A二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知f（x）的定义域为1，1，则函数的定义域为【考点】函数的定义域及其求法【分析】由f（x）的定义域求出f（2x）的定义域，再与分母中对数式的真数大于0且不等于1联立得答案【解答】解：f（x）的定义域为1，1，由，解得且x0函数的定义域为故答案为：12设函数f（x）对x0的实数满足，那么=2ln2【考点】定积分；
15、函数解析式的求解及常用方法【分析】先求出f（x）=x+，从而=，由此能求出结果【解答】解：函数f（x）对x0的实数满足，解得f（x）=x+，=+=2ln2故答案为：13在RtABC中，A=90，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算法则，求得要求式子的值【解答】解：RtABC中，A=90，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，=（）=+=（+） =，故答案为：14若正数a，b满足，则的最小值为2【考点】基本不等式【分析】由条件可得则=， =，代入所求式子，再由基本不等式，即可得
16、到最小值，注意等号成立的条件【解答】解：正数a，b满足，则=1=，或=1=则=，由正数a，b满足，则=1=，则=，=+2=2，当且仅当a=b=3时取等号，故的最小值为2，故答案为：215定义：f1（x）=f（x），当n2且xN*时，fn（x）=f（fn1（x），对于函数f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得fn（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n周期点，已知定义在0，1上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是（写出所有正确命题的编号）1是f（x）的一个3周期点；3是点的最小正周期；对于任意正整数n，都有fn（）=；若x0（
17、，1，则x0是f（x）的一个2周期点【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象【分析】根据已知中点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n周期点的定义，逐一分析四个结论的真假可得答案【解答】解：f1（1）=f（1）=0，f2（1）=f（f1（1）=f（0）=，f3（1）=f（f2（1）=f（）=1，故1是f（x）的一个3周期点，正确；f1（）=f（）=1，f2（）=f（f1（）=f（1）=0，f3（）=f（f2（）=f（0）=，故3是点的最小正周期，正确；由已知中的图象可得：f（）=，故f1（）=f（）=，f2（）=f（f1（）=f（）=，f3（）=f（f2（）=f（）=，故对于任意正整数n，都有
18、fn（）=，正确；若x0=1，则x0（，1，但x0是f（x）的一个3周期点，故错误故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数的最小正周期为（）求f（x）的单调递增区间；（）若a，b，c分别为ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求ABC的面积【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理【分析】（）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+），利用周期公式可求，可得函数解析式，进而由2k2x+2k+，（kZ），可得f（x）的单调递增区间（）由
19、，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（） =，T=，从而可求=1，f（x）=sin（2x+）由2k2x+2k+，（kZ），可得：，所以f（x）的单调递增区间为：（）f（A）=0，又角A是锐角，即又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc，1=43bc，bc=117已知命题p：函数f（x）=lg（ax2ax+1）的定义域是R；命题在第一象限为增函数，若“pq”为假，“pq”为真，求a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】由“pq”为假，“pq”为真可知p，q一真一假，进而得到
20、a的取值范围【解答】解：当p为真命题时，f（x）=lg（ax2ax+1）的定义域是R，ax2ax+10对xR都成立当a=0时，10，适合题意当a0时，由得0a4a0，4）当q为真命题时，在第一象限内为增函数，1a20，a（1，1），“pq”为假，“pq”为真可知p，q一真一假，（1）当p真q假时，a1，4）（2）当p假q真时，a（1，0）a的取值范围是a|1a0或1a418已知函数f（x）=，其中m为实数（）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程为3x+3y4=0，求m的值；（）求函数f（x）的单调递增区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数
21、的导数，得到关于m的方程组，解出即可；（）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的递增区间即可【解答】解：（）由题意可得：所以有：，m=0（）f（x）=x22（2m+1）x+3m（m+2）=（x3m）（xm2）当3m=m+2即m=1时，f（x）=（x3）20，所以f（x）单调递增；当3mm+2即m1时，由f（x）=（x3m）（xm2）0可得xm+2或x3m；所以此时f（x）的增区间为（，m+2）和（3m，+）当3mm+2即m1时，由f（x）=（x3m）（xm2）0可得x3m或xm+2；所以此时f（x）的增区间为（，3m）和（m+2，+）综上所述，当m=1时，f（x）增区间为（，+）；当m1
22、时，f（x）的增区间为（，m+2）和（3m，+）；当m1时，f（x）的增区间为（，3m）和（m+2，+）19如图，扇形AOB所在圆的半径是1，弧AB的中点为C，动点M，N分别在OA，OB上运动，且满足OM=BN，AOB=120（）设，若，用a，b表示；（）求的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【分析】（）由题意可得OAC是等边三角形，|=|，四边形OACB是平行四边形，从而用a，b表示（）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，化简的解析式，再利用二次函数的性质，求得它的范围【解答】解：（）由题意可得OAC是等边三角形，|=|，四边形OACB是平行四边形，（）设，则，t0，1，=，由t0
23、，1，得的取值范围是20某工艺品厂要设计一个如图所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图的情况如图，ABCD（ABAD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB交DC于点P，设ADP的面积为S2，折叠后重合部分ACP的面积为S1（）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？（）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（）设AB=xm，利用ADPCBP，故PA=PC=xy，结合PA2=AD2+DP2，即可用x表示图中DP的长度，并写出x的取
24、值范围；（）利用基本不等式求面积S2最大时，设计材料的长和宽；（）求面积（S1+2S2），利用导数确定函数的单调性，即可得出最大时，设计材料的长和宽【解答】解：（）由题意，AB=x，BC=2x，因为x2x，故1x2设DP=y，则PC=xy，因为ADPCBP，故PA=PC=xy，由PA2=AD2+DP2，得（xy）2=（2x）2+y2，（）记ADP的面积为S2，则=，当且仅当时，S2取得最大值故当材料长为，宽为时，S2最大（），1x2于是，关于x的函数（S1+2S2）在上递增，在上递减，所以当时，S1+2S2取得最大值故当材料长为m，宽为m时，S1+2S2最大21已知函数f（x）=alnxx+1
25、（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若对任意x（0，+），都有f（x）0，求实数a的取值范围；（）证明（其中nN*，e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（）对任意x（0，+），都有f（x）0，转化为f（x）max0，分类求出f（x）max，求解不等式可得实数a的取值范围；（）把要证的不等式变形，然后借助于（）中的函数的单调性证明【解答】（）解：，定义域（0，+），当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上递减；当a0时，令f（x）=0，得x=a，此时f（x），f（x）随的变化情
26、况如下表：x（0，a）a（a，+）f（x）+0f（x）增极大值减f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+）综上，当a0时，f（x）的递减区间为（0，+）；此时无增区间；当a0时，f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+）；（）解：由题意得f（x）max0，当a0时，f（x）在（0，+）上递减，不合题意；当a0时，f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+），f（x）max=f（a），f（a）=alnaa+10，令g（x）=xlnxx+1（x0），则g（x）=lnx，因此，g（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增，g（x）min=g（1）=0，alnaa+10的解只有a=1综上得：实数a的取值集合为1；（）证明：要证不等式，两边取对数后得，即证，令，则只要证，由（）中的单调性知当a=1时，f（x）=lnxx+1在（1，2上递减，因此f（x）f（1），即lnxx+10，lnxx1（1x2）令，则，（x）在（1，2上递增，（x）（1），即，则综上，原命题得证2017年1月8日