1、八用空间向量研究距离、夹角问题【基础通关-水平一】 (15分钟30分)1已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为()A B1 C D2 【解析】选A.因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以(1，0，0)，(1，2，2)，所以点A到直线BC的距离为d 1.2若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为，AB1，则直线AB1与CD1所成的角为()A30 B45 C60 D90【解析】选C.因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为，AB1，所以AA1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0
2、，0)，B1(1，1，)，C(0，1，0)，D1(0，0，)，(0，1，)，(0，1，)，设直线AB1与CD1所成的角为，则cos ，又00)，B，C，D，A.，.设平面ACD的法向量n，则令x1，得y1，z，故n.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为.即，解得t2.所以平面ACD的法向量n，故B到平面ACD的距离为d.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，则()AAC1与底面ABC所成角的正弦值为BAC1与底面ABC所成角的正弦值为CAC1与侧面AA1B1
3、B所成角的正弦值为DAC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为【解析】选BC.如图，取A1C1的中点E，AC的中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系设AB2，则AA12，所以A1(0，1，0)，C1(0，1，0)，A(0，1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0)，所以.底面ABC的其中一个法向量为m，所以AC1与底面ABC所成角的正弦值为，A错B对因为A1B1的中点K的坐标为，所以侧面AA1B1B的其中一个法向量为，所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为，故C对D错. 6在正方体ABCDA1B1C1D1
4、中，若棱长为1，点E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论正确的是()ADB1面ACD1B面A1C1B面ACD1C点F到面ACD1的距离为定值D直线AE与面BB1D1D所成角的正弦值为定值【解析】选ABC.以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系由题意知A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，设E(x，y，1)，即(x1，y，0)(，0)，所以E(1，1)，设F(1，y，z)，即(0，y，z)(0，)，所以F(1，).对于A，因为(1，1，1)，(1，1，0)，(0，
5、1，1)，所以所以DB1AC，DB1AD1，又AC，AD1平面ACD1，ACAD1A，所以DB1平面ACD1，A正确；对于B，因为DB1平面ACD1，所以(1，1，1)为平面ACD1的一个法向量，因为(1，1，0)，(1，0，1)，所以所以DB1A1C1，DB1A1B，又A1C1，A1B平面A1C1B，A1C1A1BA1，所以DB1平面A1C1B，所以平面A1C1B平面ACD1，B正确；对于C，因为(1，)，所以点F到面ACD1的距离d，为定值，C正确；对于D，因为几何体为正方体，所以AC平面BB1D1D，所以(1，1，0)是平面BB1D1D的一个法向量，又(1，1)，设直线AE与平面BB1D
6、1D所成角为，则sin，不是定值，D错误三、填空题(每小题5分，共10分)7已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是_【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，所以M，因此，设平面PCO一个法向量为n(x，y，z)，所以所以取n(2，1，0)，因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是.答案：8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA1ACBC1，则异面直线BC1与A1B1所成角为_；二面角ABC1C的余弦值是
7、_【解析】直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，所以CC1BC，CC1AC，ACBC，如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，C1，B1，A1.所以，.所以，所以异面直线BC1与A1B1所成角为；设平面ABC1的法向量为n，则即令y1，则n，显然平面CBC1的一个法向量为m，cos n，m，故二面角ABC1C的余弦值是.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，M是PD上一点，且BMPD.(1)求异面直线PB与CM所成角的余弦值；(2)求点M到平面P
8、AC的距离【解析】(1)分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，A，B，C，D，P，则，设(01)，则，所以，由BMPD知01640，所以，M为PD的中点，所以M，cos ，.所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为.(2)，设平面PAC的法向量为n，由得所以z0，取x2，得y1，所以n是平面PAC的一个法向量所以点M到平面PAC的距离为.10如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值【解析】(1)由题设知，
9、平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0).设n(x，y，z)是平面MAB的一个法向量，则即可取n(1，0，2).是平面MCD的一个法向量，因此cos
10、 n，sin n，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.【创新迁移】1.在三棱锥ABCD中，BC2a，BACBDC60，平面ABC平面BCD，当三棱锥ABCD的体积取最大值时，AB与CD所成角的余弦值为_【解析】设点A到平面BCD的距离为h1，点D到平面ABC的距离为h2，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，所以VABCDh1h2BCh1h2BC，又因为BACBDC60，考虑圆的一条弦对的圆周角相等，当两边相等时顶点到底边距离最大由题意可知，当ABAC，BDCD时，三棱锥ABCD的体积最大，此时，ABC与BDC是等边三角形，如图所示取BC的中点为O，连接AO，DO，则AOBC
11、，DOBC；又平面ABC平面BCD，则AO，DO，BC两两互相垂直，设O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz；因为BC2a，则A(0，0，a)，B(0，a，0)，C(0，a，0)，D(a，0，0)，则(0，a，a)，(a，a，0)；所以cos ，；即AB与CD所成角的余弦值为.答案：2在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；(2)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值；(3)求异面直线A1B与AD的距离【解析】以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B，A1，C1，D，B1(2，0，4).如图所示：(1) ，所以cos ，.故异面直线A1B和AC1所成角的余弦值为.(2) (2，0，4)，(0，2，4)，设平面C1AD的法向量为n.则即取x1，得n.设直线AB1与平面C1AD所成角为，则.所以直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为.(3)连接A1C交AC1于点M，连接DM，易得DMA1B，所以A1B平面C1AD，故点A1到平面C1AD的距离即为所求异面直线A1B与AD的距离记点A1到平面C1AD的距离为d，则d.所以异面直线A1B与AD的距离为.
