1、河北省安平中学2020-2021学年高一数学下学期第四次月考（期末）试题一. 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是A5 B6 C7 D82. 复数满足,则复数的实部与虚部之和为( )A. B. C. D. 3. 若是等边三角形ABC所在平面外一点,且,分别是,的中点,则下列结论中不正确的是( )A. 平面B. 平面C. 平面平面D. 平面平面4. 若,则的最小值是( )A. B. C. D. 5. 某电视台的
2、夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为,只有通过前一关才能进入下一关,其中,第三关有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为A. B. C. D. 6.设的内角,的对边分别为,若,则的面积为( )A. B. C. D. 7. 在中,为边上的中点,为边上的点,且;点为与的交点,则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 8.在九章算术中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面,为棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 二. 多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题
3、给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分。）9. 某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况,随机选取了名学生,绘制了如图所示频率分布直方图,则( )A. 众数的估计值为 B. 中位数的估计值为C. 平均数的估计值为 D. 样本中有名同学阅读时间不低于分钟10. 已知复数，C，下列结论正确的有A B若，则，中至少有一个为0C D若，则11. 抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）A
4、. A与B是互斥事件但不是对立事件 B. A与C是互斥事件也是对立事件C. A与D是互斥事件 D. C与D不是对立事件也不是互斥事件12. 在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点是底面上的动点,且,则下列说法正确的有( )A. 与所成角的最大值为 B. 四面体的体积不变C. 的面积有最小值 D. 平面截正方体所得截面面积不变三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13. 已知向量(1，2)，(x，6)，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为 14. 年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从名男医
5、生和名女医生志愿者中,随机选取名医生赴湖北支援,则至少有名女医生被选中的概率为_.15. 在ABC中，AB，ABC45，ACB60，延长BC到D，使得CD5，则AD的长为 16. 已知半径为的球面上有、四点,满足,则球心到平面的距离为_,三棱锥体积的最大值为_.（本小题第一空2分，第二空3分）四. 解答题（本题共6道小题,共70分。解答应写出文字说明和演算步骤）17.（本题10分）已知向量,_,若,且,求.在,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目. 18.（本题12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事
6、件C：“两个数均为偶数”（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率19. （本题12分） 如图,在四棱锥中,点,分别为棱,的中点,且.求证:(1)平面平面; (2)平面平面.20. （本题12分）已知点,为坐标原点,向量,计算: (1)求向量的单位向量; (2)求,; (3); (4)求点到直线的距离.21.（本题12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温
7、不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率22. （本题12分） 如图所示,某镇有一块空地
8、,其中,。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在的周围安装防护网. (1) 当时,求防护网的总长度; (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小; (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？河北安平中高年级第四次月考数学试题答案一、单选题1.【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】D【解析】是等边三角形所在平面外一点,且,分别是,的中点, 平面,平面,平面,故A正确; ,是中点, ,平面,平面,
9、 ,平面,故B正确; 平面,平面,平面平面,故C正确; 设,连结,不是等边三角形的重心,与平面不垂直,平面与平面不垂直,故D错误.故选:D.4. 【答案】C【解析】,即的最小值为.5. 【答案】D【解析】第一种情况:该选手通过前三关,进入第四关,所以, 第二种情况:该选手通过前两关,第三关没有通过,再来一次通过,进入第四关, 所以. 所以该选手能进入第四关的概率为. 故选D. 6.【答案】B【解析】由,可得,即, 所以,即, 又由,所以, 即,解得或(舍去), 所以, 又因为为三角形内角,故, 所以的面积为. 故选:B.7. 【答案】B【解析】设,.因为为边上的中点,为边上的点,且,所以. 又
10、由于向量与向量不共线,则由平面向量基本定理知:,解得. 所以8.【答案】A【解析】因为平面,平面,故可得, 又,平面, 故可得平面.连接. 故即为直线与平面所成角.不妨设, 故在直角三角形中, 故可得.则. 则直线与平面所成角的正弦值为.二、多选题9. 【答案】A,C,D【解析】由频率分布直方图知的频率最大,因此众数估计值为,A正确; 由于的频率为,中位数是,B错误; 平均值估计为,C正确; 不低于分钟的人数为,D正确. 故选:ACD.10.【答案】A,B,C11. 【答案】ABD12. 【答案】B,C,D【解析】由题意以为坐标原点,所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,则,设,
11、则,由,可得,即,对于选项A,由,可得,为定值, 所以选项A错误;对于选项B,四面体的体积,为定值,即体积不变,所以选项B正确;对于选项C,因为,且,所以,因为,所以,所以选项C正确;对于选项D,其截面为五边形,为定值,所以选项D正确,所以答案选BCD.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 【答案】314.【答案】15. 【答案】716. 【答案】,四、 解答题（共70分，写出必要的步骤和文字说明）17.【解析】选择方案, 因为,所以,所以,所以, 因为, 所以,所以, 因为,所以, 而,所以, 因为,所以, 因此有 选择方案, 因为,所以,所以, 因为, 所以,所以, 因为,所以,
12、 而,所以, 因为,所以, 因此有 选择方案, 因为, 所以,即, 因为,所以, 而,所以, 因为,所以, 因此有.18.答案及解析：（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.（III）由（I） “两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有 三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.19. 【解析】(1)因为是的中点,所以, 又因为,所以四边形是平行四边形, 所以,因为平面,平面, 所以平面. 又因为是的中点,所以,所以平面, 又,所以平面平面. (2)因为,满足, 所以.因为,所以. 在中,
13、是的中点,所以, 所以, 由,可得, 所以,又,所以平面. 因为平面,所以平面平面.20. 【解析】由已知得:(1),则(2),(3). (4)在上的投影为,点到直线的距离.21.【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+3654，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p（2）当温度大于等于25时，需求量为500，Y4502900元，当温度在20，25）时，需求量为300，Y3002（450300）2300元，当温度低于20时，需求量为200，Y400（450200）2100元，当温度大于等于20时，Y0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20的天数有：90（2+16）72，估计Y大于零的概率P22.【答案】(1)防护网的总长度为（2）(3)【解析】(1)在中, 在中,由余弦定理,得, ,即,为正三角形,所以的周长为9,即防护网的总长度为. (2) 设, ,即, 在中,由,得, 从而,即, 由,得,即. （3） 设，由（2）知， 又在中，由，得， ， 当且仅当，即时，的面积取最小值为.