1、章末分层突破自我校对ana1(n1)dSnna1dana1qn1(a10，q0)Sn_等差、等比数列的判定判定一个数列是等差或等比数列的方法：定义法an1and(常数)an是等差数列q(非零常数)an是等比数列中项公式法2an1anan2(nN*)an是等差数列aanan2(an1、an20)an是等比数列通项公式法anpnq(p、q为常数)an是等差数列ancqn(c、q均为非零常数)an是等比数列前n项和公式SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列Snkqnk(k为常数，且q0，k0，q1)an为等比数列设关于x的二次方程anx2an1x10(nN)有两个实根和，且满足6263.(1)
2、试用an表示an1.(2)求证：是等比数列(3)当a1时，求数列an的通项公式. 【导学号：47172016】【精彩点拨】消去，得到an，an1的关系式，利用定义证明数列为等比数列，然后求出an，从而求得an.【规范解答】(1)由根与系数的关系，得代入6263并化简得an1an.(2)证明：因为an1an，所以an1，于是(由题中方程有两个实根，可以证明an)，故是公比为的等比数列(3)当a1时，a1，所以是首项为，公比为的等比数列于是ann1n，故ann(nN)再练一题1已知数列an满足a12，an1，证明数列是等差数列【证明】因为an1，所以，所以，因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数
3、列.数列通项公式的求法求数列通项公式的几种常见类型及方法：1定义法求通项公式若数列是等差或等比数列，可代入通项公式求解2利用Sn与an的关系求通项公式可根据an求通项公式这里在应用anSnSn1时常常忽略n2这个条件，只有当n1时a1S1.求解后单独验证a1是否符合anSnSn1，若符合an即为通项公式，否则要用分段函数表示3根据相邻两项的关系求通项公式(1)累加法：已知a1，且an1anf(n)(f(n)为可求和的数列)，可用累加法(2)累乘法：已知a1，且f(n)(f(n)为可求积的数列)可用累乘法已知数列an中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列，求数列an的通项公式【精彩点拨
4、】利用an与Sn的关系求an.【规范解答】n，an，Sn成等差数列，2annSn，2an1n1Sn1，两式相减，2an12an1an1，an12an1，an112(an1)，2，an1是等比数列，公比为2.又2a11S1，a11，首项为a112，an1(a11)2n12n，an2n1.再练一题2设an是首项为1的正项数列且(n1)anaan1an0(nN)，求an.【解】由(n1)anaan1an0得(an1an)(nan1nanan1)0，因为an1an0，所以(n1)an1nan0，所以，所以ana11.数列求和数列求和常用的方法：(1)公式法(2)分组求和法(3)倒序求和法(4)错位相减
5、法(5)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和【精彩点拨】(1)利用a1和d建立方程组求解(2)利用错位相减法求和【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sna1，故S11，所以，当n2时，得：a111.所以Sn.综上，数列的前n项和Sn.再练一题3在数列an
6、中，an，又bn，求数列bn的前n项和【解】an，因为bn，所以bn8，所以数列bn的前n项和为Sn88.转化与化归思想转化与归纳思想实质是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种：一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nN)(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(3)求通项公式an.【精彩点拨】(1)利用递推公式直接代入求
7、解即可(2)假设存在，利用条件求解.(3)利用(2)的结论求解【规范解答】(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3，2，解得1.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列(3)由(2)知，数列为首项是2，公差为1的等差数数，2(n1)1n1，an(n1)2n1.再练一题4设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列. 【导学号：4717
8、2017】【解】(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明：a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.1已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a
9、8成等比数列，则()Aa1d0，dS40Ba1d0，dS40，dS40Da1d0【解析】a3，a4，a8成等比数列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2.d0，a1d0.Snna1d，S44a16d，dS44a1d6d2d2n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn9设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn. 【导学号：47172019】【解】(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a1
10、3.当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n2时，Tnb1b2b3bn，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn.经检验，n1时也适合综上可得Tn.10已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.