1、课时跟踪检测(十) 一般形式的柯西不等式1设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为()A18 B6 C18 D12解析：选C|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，当a，b反向时，a，b最小，最小值18.2已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D4解析：选A(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号，a1x1a2x2anxn的最大值是1.3已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5 B5 C25 D25解析：选B(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当
2、abcd时，等号成立，abbccdbd的最小值为5.4已知x，y，zR，且x2y3z4，则x2y2z2的最小值为()A. B. C. D.解析：选A由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即1614(x2y2z2)，所以x2y2z2.当且仅当x时，等号成立，即x2y2z2的最小值为.5已知2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)_.解析：由柯西不等式，得(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.当且仅当z时，等号成立又2x3yz8，解得x，y，z，所求点为.答案：
3、6已知实数x，y，z满足x2yz1，则x24y2z2的最小值为_解析：由柯西不等式，得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.当且仅当x2yz，即x，y，z时，等号成立，故x24y2z2的最小值为.答案：7已知a，b，cR且abc6，则的最大值为_解析：由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，即2a2b12c3时，等号成立又abc6，a，b，c时，取得最大值4.答案：48在ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明：2R，(a2b2c2)236R2.9求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2取到最小值解：由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2.当且仅当，即x，y时，等号成立，此时有最小值.10已知不等式|a2|x22y23z2对满足xyz1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围解：由柯西不等式，得x2(y)2(z)2(xyz)2.又因为xyz1，所以x22y23z2.当且仅当，即x，y，z时取等号，则|a2|，所以实数a的取值范围为.
