1、基本不等式一、选择题1已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，则9x3y的最小值为 ()A2B4C12 D6解析：由ab得ab0，即(x1,2)(4，y)0.2xy2.则9x3y32x3y2226.当且仅当32x3y即x，y1时取得等号答案：D2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是 ()A. B4C. D5解析：依题意得()(ab)5()(52)，当且仅当，即a，b时取等号，即的最小值是.答案：C3函数ylog2xlogx(2x)的值域是 ()A(，1 B3，)C1,3 D (，13，)解析：ylog2xlogx(2x)1(log2xlogx2)如果x1，则log2xlogx22，如果
2、0x0，y0，z0，xy2z0，则的 ()A最小值为8 B最大值为8C最小值为 D最大值为解析：.当且仅当，x2z时取等号答案：D5已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2m4 D4m0，y0，且1，x2y(x2y)()4428，当且仅当，即4y2x2，x2y时取等号，又1，此时x4，y2，(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于 ()A0 B4C4 D2解析：由0得k，而24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有
3、k4，即实数k的最小值等于4.答案：C二、填空题7设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_解析：(x2)(4y2)144x2y21429，当且仅当4x2y2时等号成立，则|xy|时等号成立答案：98在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)4(m2)16(当且仅当m2，即m时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：49已知二次函数f(x)ax2xc(xR)的值域为0，)，则的最小值
4、为_解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有0，从而c0，(8a)(4a2)24210，当且仅当，即a时取等号故所求的最小值为10.答案：10三、解答题10已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x0，y0，xy2x8y2即xy8，8，即xy64.当且仅当2x8y即x16，y4时，“”成立xy的最小值为64.(2)x0，y0，且2x8yxy0，2x8yxy，即1.xy(xy)()1010218当且仅当，即x2y12时“”成立xy的最小值为18.11已知a，b0，求证：.证明：220，ab20，()(ab)224.当且仅当，
5、取等号即ab时，不等式等号成立12某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时， 企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)解：(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x332(3)3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%32(3)3t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y(t0)(2)y50()50250242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42，当促销费定在7万元时，年利润最大