1、26数列求和问题大全1若数列an的通项公式为an，则其前n项和Sn为_答案解析因为an，所以Sna1a2an11.2已知数列1，3，5，7，则其前n项和Sn为_答案n21解析因为an2n1，则Snnn21.3(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m_.答案5解析am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1d0，故a1，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.4在数列an中，若存在一个确定的正整数T，对任意nN*满足anTan，则称an是周期数列，T叫作它的周期已知数列xn满足x11，x2a(a1)，xn2|xn
2、1xn|，当数列xn的周期为3时，则xn的前2 013项和S2 013_.答案1 342解析由xn2|xn1xn|，得x3|x2x1|a1|1a，x4|x3x2|12a|，因为数列xn的周期为3，所以x4x1，即|12a|1，解得a0或a1.当a0时，数列xn为1,0,1,1,0,1，所以S2 01326711 342.当a1时，数列xn为1,1,0,1,1,0，所以S2 01326711 342.综上，S2 0131 342.5已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014_.答
3、案2 010解析由已知得anan1an1(n2)，an1anan1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，2 008，2 009，1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S60.2 01463354，S2 014S42 0082 0091(2 008)2 010.6数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119
4、a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.7在等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.答案解析设等比数列an的公比为q，则q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.则数列的前n项和为11.8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a11.an的“差数列”的通项公式为an1an2n，则数列an的前n项和Sn_.答案2n1n2解析因为an1an2n，应用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nnn2
5、n1n2.9定义：若数列An满足An1A，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数(1)证明：数列2an1是“平方递推数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项公式及Tn关于n的表达式(1)证明由题意得an12a2an，得2an114a4an1(2an1)2.所以数列2an1是“平方递推数列”令cn2an1，所以lg cn12lg cn.因为lg(2a11)lg 50，所以2.所以数列lg(2an1)为等
6、比数列(2)解因为lg(2a11)lg 5，所以lg(2an1)2n1lg 5，所以2an152n1，即an(52n11)因为lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg 5.所以Tn52n1.10(2014湖南)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342
7、n，则A22n12.B(12)(34)(2n1)2nn，故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.11(2014课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1).所以.12(2014山东)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1()当n为偶数时，Tn(1)()()()1.当n为奇数时，Tn(1)()()()1.所以Tn(或Tn)