1、1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB11，AD7，AA112.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)， 遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2,3,4)，L1AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案C解析由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为yx，与直线DC的方程y7联立得F.由两点间的距离公式得E1F，tanE2E1FtanEAE1，E2FE1FtanE2E1F4.E2F11248.故选C.2已知e1，e2是空间单位向量，e1e
2、2.若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.答案122解析e1，e2是单位向量，e1e2，cose1，e2，又0e1，e2180，e1，e260.不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1(1,0,0)，则e2，再设b(m，n，r)，由be12，be2，得m2，n，则b(2，r)而xe1ye2是平面xOy上任一向量，由|b(xe1ye2)|1知，点B(2，r)到平面xOy的距离为1，故可得r1.则b(2，1)，|b|2.又由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2
3、)|1知x0e1y0e2(2，0)，解得x01，y02.3如下图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积解由题设知，AA1，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.(1)证
4、明：若P是DD1的中点，则P，.又(3,0,6)，于是18180，所以，即AB1PQ.(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则即取y6，得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，所以cosn1，n2.而二面角PQDA的余弦值为，因此，解得m4，或m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设(00，则(，0，a)，.因为MPAP，故0，即a20，所以a，a(舍去)，即PO.(2)由(1)知，.设平面APM的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10
5、，n10，得故可取n1，由n20，n20，得故可取n2(1，2)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APMC的正弦值为.5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，ADAE，且PAAB，ADAE1.(1)证明：PA平面ABCD；(2)求二面角BECD的正弦值解(1)证明：PAAB，E为PB的中点，AEPB.在RtPAE中，PE1，PB2PE2.又PAAB，PA2AB2PB2，PAAB.又ADAE，ADAB，AD平面PAB，ADPA，PA平面ABCD.(2)以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知P(0,0，)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，E，则，(，0,0)，.ADAE，ADBC，AEBC.由(1)知，AEPB，AE平面PBC.故为平面BEC的一个法向量设平面DEC的法向量为n(x，y，z)，则，即.可取n(0,1，)从而cosn，.故二面角BECD的正弦值为.