1、优化重组卷(四) 一、选择题1某圆柱被一个平面所截得到的几何体的正视图和俯视图如图所示，已知正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆，则它的侧视图是()2013杭州二中模拟答案D2设m，n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是()A当n时，“n”是“”成立的充要条件B当m时，“m”是“”的充分不必要条件C当m时，“n”是“mn”必要不充分条件D当m时，“n”是“mn”的充分不必要条件2013镇海中学模拟解析依次判断各选项，易知C应为既不充分也不必要条件答案C3设，为不同的三个平面，给出下列条件：a，b为异面直线，a，b，a，b；内不共线的三点到的距离相等；，.则其中能使成立的
2、条件是()A B C D2013温州市适应测试解析由可推出，由推不出，由推不出.答案A4已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M为棱A1B1的中点，N为棱A1D1的中点如图是该正方体被M，N，A所确定的平面和N，D，C1所确定的平面截去两个角后所得的几何体，则这个几何体的正视图为()2013庆阳模拟/解析对于选项A，由于只是截去了两个角，此切割不可能使得正视图成为梯形故A不对；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确；对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结
3、构，故不对；对于D，正视图是正方形，符合题意，其中的两条实线符合俯视图的特征，故D不对答案B5一个正三棱柱的正视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于()A8 B. C9 D.2013唐山二模解析根据几何体的三视图知该正三棱柱的底面正三角形的高为h，正三棱柱的高为h，那么可得外接球的半径为r，则其外接球的表面积为S4r2.答案B6如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为()A. B.C. D.2013威海模拟解析记点B到平面AB1C1的距离为d，BB1与平面AB1C1所成角为，连接BC1，利用等体积法
4、，VA-BB1C1VB-AB1C1，即23d22，得d，则sin ，所以.答案A7如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，则这个几何体的表面中，直角三角形个数为()A1B2C3D42013湖州质检解析依题意知，如图，该几何体是一个三棱锥A-BCD，其中AB平面BCD，且BCCD，因此有ABBC，ABBD，CDAC，即在该几何体的表面中，直角三角形个数是4.答案D8如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A. B.C. D.2013上饶模拟解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)
5、，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，PQ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.答案C二、填空题9如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为_2013深圳调研解析根据三视图知该四棱锥的底面是长为a6，宽为b2的矩形，一侧面垂直于底面，该侧面是一个底边长为a6，高为h4的等腰三角形，则其对应的表面积为Sabah2ba346.答案34610一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为_2013衡水中学调研解析根据圆锥的体积和半球的体积相等建立关系求解设半球
6、的半径为R，则圆锥的底面圆半径也是R，高为h，由题意可得R2hR3h2R，设圆锥的母线与轴所成角为，则tan ，所以sin .答案11如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_2013枣庄二模解析根据三视图知该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，其底面半径是r1，高为h1，上面是一个半径为R1的半球的一半，则该几何体的体积为Vr2hR2.答案12如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；二面角P-AD1-C的大小不变其中真命题的序号是_2013孝感模拟解析中，BC1平面AD1C，B
7、C1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；中，P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；中，P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，即二面角P-AD1-C的大小不受影响，所以正确答案三、解答题13如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AEPG.2013揭阳模拟(1)解由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA4，BE2，AB4.VP-AB
8、CDPAS四边形ABCD444.(2)证明，EBABAP90，EBABAP，BEAPBA.BEABAEPBABAE90，PBAE又BC平面APEB，BCAE.BCPBB，AE平面PBC.PG平面PBC，AEPG.14如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值2013江西卷(1)证明在ABD中，因为E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以F
9、EDFEA.故EFAD，AFFD，又因为PGGD，所以FGPA，又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)解以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的法向量n1(x1，y1，z1)，则令y1，则x13，z12，n1(3，2)设平面DCP的一个法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2(1，2)从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos |cosn1，n2|.15如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1
10、D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小2013陕西卷(1)证明法一A1O平面ABCD，A1OBD.又底面ABCD是正方形，BDAC，又A1OACO，BD平面A1OC，又A1C平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AAA1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1，又BB1BDB，A1C平面BB1D1D.法二由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,
11、1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)0，0，A1CBD，A1CBB1，又BDBB1B，A1C平面BB1D1D.(2)解设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cosn，|.又0，.16如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB2AD，AD，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B.(1)求证：AD平面BDE；(2)求二面角B-AD-E的余弦值2013绍兴模拟(1)证明由题设可知ADDE，取AE中点O，连接OD，BE.ADDE，ODAE.又二面角D-AE-B为
12、直二面角，OD平面ABCE.又AEBE2，AB2，AB2AE2BE2.AEBE.取AB中点F，连接OF，则OFEB.OFAE.以点O为原点，OA，OF，OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，D(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,0,0)，(1,0,1)，(1，2,1)，(0,2,0)，设n(x1，y1，z1)是平面BDE的法向量，则即取x11，则z11.于是n(1,0，1)n.n.AD平面BDE.(2)解设m(x2，y2，z2)是平面ABD的一个法向量，则m0，m0，取x21，则y21，z21，则m(1,1,1)，平面ADE的法向量(0,1,0)cosm，
13、.二面角B-AD-E的余弦值为.17如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值2013滨州二模(1)证明PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC.AB2，ADCD1，ACBC.AC2BC2AB2.ACBC.又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)解如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，设P(0,0，a)(a0)，则E，(1,1,0)，(0,0，a)，.取m(1，1,0)，则mm0，m为面PAC的法向量设n(x，y，z)为面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2.于是n(2，2，2)，(1,1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |cos，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.