1、31基本不等式预习课本P8889，思考并完成以下问题 (1)基本不等式的内容是什么？ (2)基本不等式几何意义和数列意义各是什么？ (3)利用基本不等式求最值时应注意什么？ 基本不等式(1)概念：如果a，b都是非负数，那么，当且仅当ab时，等号成立我们称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式(2)文字叙述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数(3)意义：几何意义：半径不小于半弦数列意义：两个非负数的等差中项不小于它们正的等比中项1判断下列结论是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意实数a，b都成立()(2)
2、若a0，b0，且ab，则ab2.()(3)若a0，b0，则ab2.()答案：(1)(2)(3)2不等式a212a中等号成立的条件是()Aa1Ba1Ca1 Da0解析：选B当a212a，即(a1)20即a1时，等号成立3设a，b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4C2 D8解析：选Ba，b是实数，2a0,2b0，于是2a2b2 224，当且仅当ab时取得最小值4. 4当a，bR时，下列不等关系成立的是_(填序号)；ab2；a2b22ab；a2b22ab.解析：根据ab，成立的条件判断，知错，只有正确答案：对基本不等式的理解典例(1)设0ab，则下列不等式中正确的是()AabBab
3、Cab D.aa0，2bba，b，ab.法二：取a2，b8，则4， 5，所以a0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：选D由基本不等式知，只有D选项正确.利用基本不等式比较大小典例已知0a1,0b0，b0，ab2，a2b22ab，四个数中最大数应为ab或a2b2.又0a1,0b1，a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，a2b22)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是()AmnBm2，所以a20，又因为ma(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.2若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg ，则P，Q
4、，R的大小关系是_解析：因为ab1，所以lg alg b0，所以Q(lg alg b)P；Q(lg alg b)lg lg lg lg R.所以PQR.答案：PQ0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明法一代换法a0，b0，c0，且abc1，3332229.当且仅当abc时，取“”，9.法二配凑法a0，b0，c0，且abc1，(abc)111332229.当且仅当abc时，取“”，9.活学活用已知a，b，c为不全相等的正实数求证：abc.证明：a0，b0，c0，ab2，bc2，ca2.2(abc)2()，即abc.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc.运用基本不等式证明不等式
5、(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到 层级一学业水平达标1设ta2b，sab21，则t与s的大小关系是()AstBstCst Dslg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选CA中x时，不等式不成立；B中sin x不总大于0；D中，x0时，不等式不成立故选C.4已知x0，若x的值最小，则x为()A81 B9C3 D16 解析：选B因为x0，所以x218，当且仅当x，即x9时等号成立5已知x，yR
6、，下列不等关系中正确的是()Ax2y22|xy| Bx2y22|xy|Cx2y22|xy| Dx2y21，b1，则logablogba_2(填“”“”或“”)解析：a1，b1，logab0，logba0，logablogbalogab2.答案： 8已知abc，则与的大小关系是_解析：abc，ab0，bc0，.答案：9已知x0，求证：x4.证明：由x0，(x)24，x4.10已知a，b，c均为正实数， 求证：3.证明：a，b，c均为正实数，2(当且仅当a2b时等号成立)，2(当且仅当a3c时等号成立)，2(当且仅当2b3c时等号成立)，将上述三式相加得6(当且仅当a2b3c时等号成立)，3(当且
7、仅当a2b3c时等号成立)，即3(当且仅当a2b3c时等号成立)层级二应试能力达标1下列命题：x2(x0)，2，2.其中正确的个数为()A0B1C2 D3解析：选C错误，x0时，x是负数；正确，分x0两种情形证明；正确，直接利用基本不等式2四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()A. B.2，故.3已知f(x)x，a，b为正实数，Af，Gf()，Hf，则A，G，H的大小关系是()AAGH BAHGCGHA DHGA解析：选Aa0，b0，.当且仅当ab时等号成立， 又函数f(x)x是减函数，AGH.4设a，b是正实数，且ab4，则有()A. B. 1C.2 D. 解析：选B由a0，b0，
8、且ab4得242，1.又由，即.由此可知，A，C，D都不正确，只有B正确5已知ma(a2)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是_解析：ma(a2)2，a2，a20，m2 24，即m4，)b0，b20，2b22，22b24，即n4，mn.答案：mn6若a，b是两个实数且a2b4，则2a4b_8.(填“”“”或“”)解析：利用基本不等式，得2a22b28.答案：7已知a，b都是正数，且ab1，求证：9.证明：法一：a0，b0，且ab1，52549.当且仅当，即ab时取“”号9.法二：11.ab1，1.又a，b0，ab2.4，当且仅当ab时取“”号1249.8若0x1，a0，b0. 求证：
9、(ab)2.证明：左边x(1x)a2b2b2a2a2b22a2b22ab(ab)2右边，当且仅当b2a2，即x时等号成立，(ab)2.32基本不等式与最大(小)值预习课本P9093，思考并完成以下问题(1)两个正数满足什么条件时其积有最大值？ (2)两个正数满足什么条件时其和有最小值？ 已知x，y都是正数，则(1)若xys(和为定值)，则当且仅当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当且仅当xy时，和xy取得最小值2.点睛利用基本不等式求最值(1)x, y一定是正数；(2)求积xy最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy最小值时，看积xy是否为定值(3)等号是否能够成立1判断
10、下列结论是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于实数a，b，若ab为定值，则ab有最大值()(2)对于实数a，b，若ab为定值，则ab有最小值()(3)若x2，则x的最小值为2.()答案：(1)(2)(3)2已知正数a，b满足ab10，则ab的最小值是()A10B25C5 D2解析：选Dab22，当且仅当ab时等号成立3若xR，则下列不等式一定成立的是()Alg(x21)lg 2x Bx12C.0，则x的最小值是_解析：x22，当且仅当x时，等号成立答案：2利用基本不等式求函数最值典例(1)已知x0，求函数y的最小值；(2)已知0x0)的最小值为9.(2)0x0.yx(13x)3x(1
11、3x)2.当且仅当3x13x，即x时，等号成立当x时，函数取得最大值.(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等活学活用1求函数yx(x3)的最小值解：x3，x30，yx(x3)35，当且仅当x3，即x4时，取等号，ymin5.2求函数yx(a2x)(x0，a为大于2x的常数)的最大值解：x0，a2x，a2x0，yx(a2x)2x(a2x)2，当且仅当2xa2x，即x时，取等号ymax.有限制条件的最值问
12、题典例已知x0，y0，且1，求xy的最小值解法一代换法1，xy(xy)10.x0，y0，26.当且仅当，即y3x时，取等号又1，x4，y12，xy16.当x4，y12时，xy取最小值16.法二消元法由1，得x.x0，y0，y9.xyyyy1(y9)10.y9，y90，y926.当且仅当y9，即y12时取等号，此时，x4，当x4，y12时，xy取最小值16.法三配凑法由1得，y9xxy，(x1)(y9)9.xy10(x1)(y9)10216.当且仅当x1y9时取等号又1，x4，y12.当x4，y12时，xy取最小值16.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系
13、，然后代入函数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值 活学活用1设a0，b0，若3是3a和3b的等比中项，则的最小值为_解析：因为3a3b9，所以ab2，(ab)112 2，当且仅当，即ab1时“”成立答案：22若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_解析：由基本不等式得xy26，令t得不等式t22t60，解得t(舍去)或者t3，故xy的最小值为18.当且仅当2xy6时等号成立答案：18利用基本不等式解应用题题点一： 利用基本不等式求最小值问题1现有一批货物用轮船从甲地运往乙地，甲地与乙地的距离为500海里，已
14、知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30 000元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？解：(1)由题意得，每小时燃料费用为kx2(0x45)，全程所用时间为小时则全程运输成本ykx2960，x(0,45，当x20时，y30 000，得k0.6，故所求的函数为y300，x(0,45(2)y300300224 000，当且仅当x，即x40时取等号，故当轮船速度为40海里/小时时
15、，所需成本最小题点二：利用基本不等式求最大值问题2某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元(500，(x50)20.S2 500，当且仅当x50，即x60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多法二：由题意知利润S(x50)令x50t，xt50(t0)，则S2 500.当且仅当t，即t10时取等号，此时x60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多利用基本不等式解实际问题的步骤(1)在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题(纯数学问题)；(3)在定义
16、域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)求出函数的最大值、最小值；(4)回到实际问题中，写出正确答案 层级一学业水平达标1已知a0，b0，且ab2，则()AabBabCa2b22 Da2b22解析：选C由ab2，得ab21，排除A、B；又2，a2b22.故选C.2若a1，则a的最小值是()A2 BaC. D3解析：选Da1，a10，aa112 13，当且仅当a1，即a2时取等号3已知x1，y1且lg xlg y4，那么lg xlg y的最大值是()A2 B.C. D4解析：选Dx1，y 1，lg x0，lg y0，lg xlg y224，当且仅当lg xlg y2，即xy100时成立等号成立4
17、下列函数中，最小值为4的函数是()Ayx Bysin x(0x)Cyex4ex Dylog3xlogx81解析：选C对于A，x4或者x4；对于B，等号成立的条件不满足；对于D，也是log3xlogx814或者log3xlogx814，故选C.5某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A. 60件 B80件C100件 D120件解析：选B若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是2 20，当且仅当时取等号，得x80. 所以
18、每批应生产产品80件，才能使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小6函数y3x2的最小值是_解析：3x23(x21)363.当且仅当3(x21)时取等号答案：637若logmn1，则3nm的最小值是_解析：logmn1，mn1且m0，n0，m1.3nm22.当且仅当3nm即n，m时等号成立答案：28函数ylog2xlogx(2x)的值域是_解析：ylog2xlogx21.由|log2xlogx2|log2x|logx2|22，得log2xlogx22或log2xlogx22，y3或y1.答案：( ，1 3， )9已知正常数a，b和正变数x，y，满足ab10，1，xy的最小值是18，求a，
19、b的值解：xy(xy)abab2()2，()218.又ab10，a2，b8或a8，b2.10某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为Sxy，依题意得，40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy，12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故10，从而S10
20、0，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米层级二应试能力达标1已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A2B4C16 D不存在解析：选B点P(x，y)在直线AB上，x2y3.2x4y224x，y时取等号2已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A. 3 B. 4C. D.解析：选B依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，即x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4.3y(6a3)的最大值为()A9 B.C3 D.解
21、析：选B法一：因为6a3，所以3a0，a60，则由基本不等式可知，当且仅当a时等号成立法二： ，当且仅当a时等号成立4已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0 B1C2 D4解析：选D因为x，a，b，y成等差数列，所以abxy.因为x，c，d，y成等比数列，所以cdxy，所以2.因为x0，y0，所以224，当且仅当xy时，等号成立5建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为_元解析：设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为 m，则总造价为：y4808024803
22、2048032021 760. 当且仅当x 即x2时，y取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元答案：1 7606已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的值为_解析：a0，(xy)1a1a2，由条件知a219，a4.答案： 47当x时，求函数yx的最大值解：y(2x3)，当x0，24，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数y有最大值.8北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：(1)由题意y，当且仅当v，即v40时取等号ymax11.1(千辆/小时)，当车速v40千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时(2)由题意：10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时