1、一轮大题专练7导数(构造函数证明不等式1)1已知函数(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:解:(1),时,函数在上单调递增时,令,解得,函数在上单调递减,在上单调递增(2)证明:当时,要证明:,即证明,令,令,解得;令,解得函数在上单调递增,在上单调递减时,函数取得极大值即最大值,(e)令,令,解得;令,解得函数在上单调递减,在上单调递增时,函数取得极小值即最小值,(2),即,也即2已知函数()求曲线在点,(1)处的切线方程;()求的单调区间;()若关于的方程有两个不相等的实数根,记较小的实数根为,求证:()解:由,可得,则(1),又(1),所以曲线在点,(1)处的切线方程为,即()解:的定义
2、域为,当时,在上单调递增;当时,令,可得,令,可得,所以在上单调递减,在上单调递增()证明:由()可知,当时,才有两个不相等的实根,且,则要证,即证,即证,而,则,否则方程不成立),所以即证,化简得,令,则,当时,单调递减,当时,单调递增,所以(1),而,所以,所以,得证3已知函数,函数,(1)记,试讨论函数的单调性,并求出函数的极值点;(2)若已知曲线和曲线在处的切线都过点求证:当时,解:(1),记,当时,在单调递增,无极值点,当时,有异号的两根,在单调递减,在,单调递减,有极小值点;(2)证明:,(1),在处的切线方程为,过点得:,(1),在处的切线方程为,过点得:,要证:,即证:,即证:
3、,构造函数,则,时,时,在单调递减,时,在单调递增,(1),故原不等式成立4已知函数在处取得极值()若对,恒成立,求实数的取值范围;()设,记函数在,上的最大值为,证明:()解:,则,又在处取得极值,则有(1),解得,此时,当时,则单调递增,当时,则单调递减,所以确实在处取得极值,故,设,则在上恒成立,即在上恒成立,因为,当,即时,在上恒成立,不符合题意;当时,令,解得,当时,则单调递增,当时,则单调递减,所以当时,取得最大值,要使得在上恒成立,则有,解得,综上所述,实数的取值范围为,;()证明:要证,即证明即可,因为,则,因为,时,恒成立,设,则为单调递增函数,又,则存在,使得,即,则当时,
4、则,故单调递增,当,时,且不同时为0,则,故单调递减,所以在,上的最大值为,又,则,设,则对于恒成立,故在上单调递增故,于是,故5已知函数,对于,恒成立(1)求实数的取值范围;(2)证明:当时,解:(1)由恒成立,得对恒成立,令,当,单调递增,当,单调减,故所求实数的取值范围为,;(2)证明:由(1)得欲证,只需证即可,令,令,则易知在单调递增,且,故存在,使得;当,时,单调递减,当时,单调递增,又,故当时,6已知函数,()已知恒成立,求的值;()若,求证:解:(1)已知恒成立,即恒成立,令,则有,当时,则恒有,此时函数单调递增,并且当时,不满足题意;,此时令;,即函数在上单调递减,在上单调递
5、增,若要满足题意,则需使,恒成立,令(a),则有(a),由此可得,当时,(a);当时,(a)(a)(1),即得(a),(2)令,则有恒成立,故可得在上单调递增,即有恒成立,故有在上恒成立;根据题意,要证,即证明,即证,即证,令,则有,在上恒成立,即得函数在上单调递减,(1),由此得证当时,原不等式成立7已知函数,的反函数为(其中为的导函数,(1)判断函数在上零点的个数;(2)当,求证:解:(1)由题意得,则,由得或,由,得或,由,得,当在上变化时,变化情况如下表:,100单调递增极大值单调递减极小值单调递增根据上表知,(1),根据零点的存在性定理,函数在上存在唯一零点,又因为(1),所以根据的单调性可知,函数在上零点的个数为2(2)证明:因为,其反函数为,所以不等式为,当时,所以在上单调递减,所以(1),设函数,则,设函数,则,所以在上单调递增,因为(1),所以存在,使得,所以函数在上单调递减,在,上单调递增,当时,当,时,(1),所以存在,使得,所以当时,当,时,所以函数在上单调递减,在,上单调递增,因为,(1),所以当时,所以,所以