1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中,B=4,sinA=528,AC=4,则BC=()A.5B.6C.7D.82.在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.353.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么a的取值范围为()A.(8,10)B.(22,10)C.(22,10)D.(10,8)4.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形ABC的三边,若abc=162,则三角形的面积为()A.22B.82
2、C.2D.225.已知ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为()A.6B.3C.2D.236.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是()A.a=8,b=16,A=30,有两解B.b=18,c=20,B=60,只有一解C.a=5,c=2,A=90,无解D.a=30,b=25,A=150,只有一解7.一角槽的横断面如图所示,四边形ADEB是矩形,且=50,=70,AC=90mm,BC=150mm,则DE的长为()A.210mmB.200mmC.198mmD.171mm8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a
3、,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或239.已知在ABC中,sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),则ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形10.在ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A=()A.30B.60C.120D.15011.在ABC中,AB=12,CD平分ACB,且把ABC的面积分成32两部分,则cosA=()A.13B.12C.34D.012.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6
4、千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()A.1507分钟B.157小时C.21.5分钟D.2.15分钟二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为.14.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120,则a的取值范围是.15.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若b(sinA-sinB)=asinA-csinC,且ABC的面积为312c2,则ba+ab的值为.16.如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的
5、C处,12时20分测得船在海岛北偏西60的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方向且距海岛5km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,那么船速为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.(1)求ba;(2)若c2=b2+3a2,求B.18.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=35.(1)若b=4,求sinA的值;(2)若SABC=4,求b,c的值.19.(本小题满分12分)在AB
6、C中,BAC=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.20.(本小题满分12分)如图,某城市有一条东西方向的公路AO,通过市中心O后转向东偏北角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=313km,且AOM=.现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,且经过大学M,其中tan=2,cos=31313,AO=15km.(1)求大学M与站A之间的距离AM的长;(2)求铁路AB段的长.21.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+22cosC+2=0.(1)求角C的大小;(2)若b
7、=2a,ABC的面积为22sinAsinB,求sinA及c的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=msinx+2cosx(m0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在0,上的单调递减区间;(2)若ABC中,fA-4+fB-4=46sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60,c=3,求ABC的面积.本章达标检测一、选择题1.A由正弦定理知BCsinA=ACsinB,解得BC=5.2.D由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,即72=52+AC2-10ACcos120,解得AC=3(AC=-8舍去).由正弦定理得sinBsinC=ACAB=35.3.
8、B设长为1,3,a的边所对的角分别为C,B,A,由余弦定理的推论知cosA=12+32-a22130,cosB=1+a2-3221a0,cosC=32+a2-1223a0,即10-a20,a2-80,a2+80,解得22ab,CB,故有两解;C中,A=90,a=5,c=2,b=a2-c2=25-4=21,即有解.故A、B、C都不正确,故选D.7.A由题图可知,ACB=+=50+70=120.在ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=902+1502-290150-12=44100,所以AB=210mm,即DE=210mm.故选A.8.D(a2+c2-b2)tan
9、B=3ac,a2+c2-b22actanB=32,即cosBtanB=sinB=32.0B,角B的值为3或23.9.D由正弦定理和余弦定理的推论得a+b=cb2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac,即2a2b+2ab2=ab2+ac2-a3+a2b+bc2-b3,a2b+ab2+a3+b3=ac2+bc2,(a+b)(a2+b2)=(a+b)c2,a+b0,a2+b2=c2,ABC为直角三角形,故选D.10.C由正弦定理及已知得,a2=b2+bc+c2,b2+c2-a2=-bc,cosA=b2+c2-a22bc=-12,又0A180,A=120.11.C如图,CD平分ACB,D到AC与D
10、到BC的距离相等,ACD中AC边上的高与BCD中BC边上的高相等.又AB,BCAC,由题意可知,SACDSBCD=32,ACBC=32.由正弦定理得sinBsinA=32,又B=2A,sin2AsinA=32,即2sinAcosAsinA=32,cosA=34.12.A如图所示,设行驶x小时后甲船到点C,乙船到点D,两船相距y千米,由题意知DBC=180-60=120.甲船到达B点之前时,在BCD中,BC=(10-4x)千米,BD=6x千米,CD=y千米,由余弦定理,得y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)6xcos120=28x2-20x+100=28x2-57x+100=28
11、x-5142-257+100,当x=514时,y2有最小值,即y有最小值,此时航行的时间是51460=1507(分钟).二、填空题13.答案a2+b2c2解析cosC=a2+b2-c22ab,且C为钝角,cosC0,a2+b2-c20,a2+b2c2.14.答案32aa+2,a2+(a+1)2-(a+2)20,a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)-12,解得32a0,(8分)所以cosB=22,所以B=45.(10分)18.解析(1)cosB=350,且0B,sinB=1-cos2B=45.(4分)由正弦定理得asinA=bsinB,sinA=asinBb=2454=25.(6分)(
12、2)SABC=12acsinB=4,122c45=4,c=5.(8分)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-22535=17,b=17(负值舍去).(12分)19.解析如图所示,设ABC的内角BAC,B,C所对边分别是a,b,c,则b=32,c=6.(2分)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310(负值舍去).(4分)由正弦定理得sinB=bsinBACa=3310=1010,(6分)由题设知0B4,所以cosB=1-sin2B=1-110=31010.(8分)在ABD中,因为AD=
13、BD,所以ABD=BAD,所以ADB=-2B,(10分)所以AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.(12分)20.解析(1)在AOM中,AO=15km,AOM=且cos=31313,OM=313km,由余弦定理得,AM2=AO2+OM2-2AOOMcosAOM=152+(313)2-21531331313=72,(4分)AM=62km(负值舍去),即大学M与站A之间的距离AM的长为62km.(6分)(2)cos=31313,且为锐角,sin=21313,(7分)在AOM中,由正弦定理得,AMsin=OMsinMAO,即6221313=313sinM
14、AO,sinMAO=22,MAO为三角形内角,MAO=4,ABO=-4,(8分)tan=2,00,所以m=2,f(x)=2sinx+4.(4分)由2k+2x+42k+32(kZ),得2k+4x2k+54(kZ).(5分)所以f(x)在0,上的单调递减区间为4,.(6分)(2)化简fA-4+fB-4=46sinAsinB,得sinA+sinB=26sinAsinB.(7分)由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=23,所以sinA=a23,sinB=b23,(8分)代入式整理,得a+b=2ab.(9分)由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0.(10分)将式代入式,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或ab=-32(舍去),(11分)故SABC=12absinC=334.(12分)
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