1、-1-第2课时 利用基本不等式求最值及实际应用题ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.能利用基本不等式求最大(小)值.2.通过运用基本不等式解决实际问题,提高运用数学手段解决实际问题的意识与能力.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 应用基本不等式 +2 求最值时需要的条件第一,a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误答案.第二,ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最小值;
2、当 a+b 是定值时,可以求 ab 的最大值.第三,等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等,也就是存在正数 a,b 使得 =+2.上面三个条件缺一不可,通常又总结成口诀:一正二定三相等.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做】有下列命题:x+1 的最小值是 2;2+4 2+1 的最小值是 2 3;2+5 2+4的最小值是 2;2 3 4 的最小值是 2.其中正确命题的序号有 .ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 解析:对于,
3、当 x0 时,3x+4 2 3 4=4 3,等号成立时2 3+4 1)的最小值.解:y=2+3+3+1=(+1)2+(+1)+1+1=(+1)+1+1+1.x-1,x+10.y=(x+1)+1+1+12+1=3.当且仅当 x+1=1+1,即x=0 时,等号成立,故当 x=0 时,函数有最小值 3.反思一般地,常将 dx+e 视为 t,将函数 f(x)=2+通过变量替换化为y=t+(为正常数)型,再利用基本不等式求最值,但要注意新变量的取值范围.g(x)=+2+也是类似的解法.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一
4、题型二 题型三【变式训练 1】求函数 y=2-x4(0)的最大值.解:x0,x+44.y=2 +4 2-4=-2.当且仅当 x=4(0),即x=2 时,等号成立,故当 x=2 时,函数有最大值-2.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二利用基本不等式解应用题【例2】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.问:该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?分析:先以购买面
5、粉的间隔天数为自变量,平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型,再利用基本不等式求最值.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:设该厂每x天购买一次面粉,则其购买量为6x吨,由题意可知,面粉的保管费及其他费用为36x+6(x-1)+6(x-2)+61=9x(x+1).设平均每天所支付的总费用为y元,则 y=1 9(+1)+900+6 1 800=9x+900+10 8092 9900+10 809=10 989,当且仅当 9x=900,即x=10 时,等号成立.故该厂每10天购买一次面粉,才能使
6、平均每天所支付的总费用最少.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思利用基本不等式解应用题的步骤:(1)审清题意,读懂题;(2)恰当地设未知数,通常情况下把欲求最值的变量看成因变量y;(3)建立数学模型,即从实际问题中抽象出函数关系式,并指明函数的定义域,把实际问题转化为求函数最值的问题;(4)在函数的定义域内,利用基本不等式求出函数的最值;(5)根据实际问题写出答案.不等式的应用题大都与函数相关联,在求最值时,基本不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注意等号能否取到,若取不到,必
7、须利用函数的单调性去求函数的最值.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练2】某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m0)满足(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2019年
8、该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数.(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?求出最大利润.x=3-+1 ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 分析:本题考查利用基本不等式解决实际问题.(1)可先通过m=0时x=1求出常数k,再根据条件列出利润y关于年促销费用m的函数;(2)在(1)在函数关系式下,利用基本不等式求最值.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二
9、 题型三 解:(1)由题意知,当 m=0 时,x=1,1=3-0+1,即 k=2.x=3-2+1.每件产品的销售价格为 1.5 8+16 元,2019 年的利润 y=x 1.5 8+16-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8 3-2+1-m=-16+1+(+1)+29(m0).(2)当 m0 时,16+1+(m+1)2 16=8,y-8+29=21,当且仅当 16+1=m+1,即 m=3 时,ymax=21.即该厂家 2019 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大利润为 21 万元.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典
10、例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三易错辨析易错点:求最值时,忽视等号成立的条件而致误【例 3】求 f(x)=2+4 2+3+1 的最小值.错解因为 f(x)=2+4 2+3+1=2+3+1 2+3+1=2+3+1 2+3+1 2+1=3,所以 f(x)=2+4 2+3+1 的最小值为 3.错因分析错解是因为忽略了等号成立的条件,事实上方程 2+3=1 2+3无解,所以等号不成立,正确的推理方法是利用函数的单调性求最值.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解 f(x)=2+4 2+
11、3+1=2+3+1 2+3+1=2+3+1 2+3+1.令 t=2+3(t 3),则原函数变为 f(x)=t+1+1,f(x)在区间 3,+)上是增加的.所以当 t=3时,f(x)=t+1+1 取得最小值4 33+1.所以当 t=3,即 x=0 时,f(x)=2+4 2+3+1 取得最小值4 33+1.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123451 若-4x1,则 f(x)=2-2+22-2().A.有最小值 1B.有最大值 1C.有最小值-1D.有最大值-1解析:f(x)=2-2+22-2=12 (-1)+1-1.
12、-4x1,x-10,f(x)=12 -(-1)+1-(-1)-1,当且仅当 x-1=1-1,即x=0 时,等号成立.故选 D.答案:DZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123452下列函数中,最小值为2的是().A.y=5+5,R,且 x0B.y=lg x+1lg(1 10)C.y=3x+3-x(xR)D.y=sin x+1sin 0 2 解析:A 项,y 没有最小值.B 项,1x10,0lg x1,y2.当 lg x=1,即 x=10 时,ymin=2,不符合 1x0,y=3x+132,当 x=0 时,ymin=2.D 项,0 x0.y2.当 sin x=1sin ,即x=2 时,ymin=2,不符合 0 x0,2+3+1a 恒成立,则 a 的取值范围是 .解析:a2+3+1=1+1+3 对任意x0 恒成立,令 u=x+1+3,只需a1 恒成立即可.x0,u=x+1+32+3=5,当且仅当 x=1 时,等号成立.由 u5 知,0 2)的最小值.解:x2,x-20.y=x+1-2=2+1-2+22(-2)1-2+2=4,当且仅当 x-2=1-2(2),即x=3 时,等号成立,故当 x=3 时,函数有最小值 4.