1、每周一练 新课标人教高三数学上学期第十五周练习卷（直线、平面、简单几何体1）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为A B C D2在空间四边形中，、上分别取、四点，如果、交于一点，则A一定在直线上 B一定在直线上C在直线或上 D既不在直线上，也不在上3如图S为正三角形所在平面ABC外一点，且SASBSCAB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与SA所成角为A90 B60 C45 D304.已知直线m、n与平面、,给出下列三个命题：若m，n,则mn;若m,n,则nm;若
2、m,m,则.其中真命题的个数是A0 B1 C.2 D35若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是A且 B且 C且D且6在北纬45圈上有A、B两地，A地在东经120，B地在西经150，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离为ABCD7对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是A如果，共面，那么m B如果与相交，那么是面直线C如果是异面直线，那么 D如果m,共面，那么m8PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是A B C D9设直线和平面，则下列命题中正确的是 A若则 B若则C若则 D若则10设A、B、C、
3、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A若AB=AC，DB=DC，则AD=BC B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若AC与BD共面，则AD与BC共面 D若AB=AC，DB=DC，则ADBC11对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是A若则 B若则C若则 D若、与所成的角相等，则12如图所示，b、c在平面内，ac=B，bc=A，且ab，ac，bc，若Ca，Db，E在线段AB上（C，D，E均异于A，B），则CDE是A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题号123456789101112答案二、填空题：本大题共4小题；每小题4
4、分，共16分，把答案填在题中的横线上。13已知ABC是水平放置的边长为a的正三角形ABC的斜二测平面直观图，那么ABC的面积为 14正四棱锥中，侧面等腰三角形的顶角的取值范围为。15如图，ABCD中，AB=3，BC=1，EFBC且AE=2EB，G为BC中点，K为ADF的外心，沿EF将矩形折成一个120的二面角AEFB，则此时KG的长是 ；16给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，如果一个平面经过另一个平面
5、的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的是 。三、解答题（本大题共6小题，共74分）17. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FDAC1。（1）试求的值；（2）求二面角FAC1C的大小；（3）求点C1到平面AFC的距离.18在三棱锥MABC中，CM平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC. （1）求证：AMBC； （1）若AMB=60，求直线AM与CN所成的角.19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为，且，为中点（1）证明：/平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的正切值20如图，ABC和DBC所在平面互相垂直，且
6、ABBCBD，ABCDBC120，求：A、D连线和平面DBC所成的角；二面角ABDC的正切值。21 如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点. （1）求证：EFG平面PAB； （2）求异面直线EG与BD所成的角；1,3,5 （3）求点A到平面EFG的距离.22.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；（3）求点E到平面ACD的距离。每周一练 新课标人教高三数学上学期第十五周练习卷（直线、平面、简单几何体1）参考
7、答案一、选择题1B 2.B 3C 4C 5D 6D 7A 8C 9B 10A 11C 12C二、填空题13 14 15 16. 。三、解答题17解法一（1）连AF，FC1，因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，RtABFRtC1B1F，AFFC1.又在AFC1中，FDAC1，所以D为AC1的中点，即.（2）取AC的中点E，连接BE及DE，易得DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形，所以FD与BE平行。因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以ABC是正三角形，BEAC，FDAC，又FDAC1，FD平面ACC1，所以二面角FAC1C的大小为.（
8、3）运用等积法求解：AC2，AFCF，可求，得.解法二取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得（1）设，则，即解得，即.（4分）（2）设平面FAC1的一个法向量为，由得，又由，得，同上可得平面ACC1的一个法向量为.故二面角FAC1C的大小为.（3）设平面AFC的一个法向量为，由得，由得.解得所以C1到平面AFC的距离为.18证明：（1）NA=NB=NCN是ABC外接圆的圆心，可得ACB=90，即BCAC CM平面ABC，BC平面ABC，MCBC BC面MAC BCMA （2）取MB的中点P，连结CP，NP，则NP/AM，所以PNC是直线AM与CN所成的角， 令AN=NB=NC=
9、1， AM=2，NP=1，CP=MB=1 在CPN中，CP=NP=CN=1 PNC=6019（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO O为BD中点，E为PD中点，EO/PBEO平面AEC，PB平面AEC， PB/平面AEC（2）证明：P点在平面ABCD内的射影为A，PA平面ABCD平面ABCD， 在正方形ABCD中且， CD平面PAD 又平面PCD，平面平面 （3）解法1：取AD中点L，过L作LKAC于K，连接EK、EL, L为AD中点， EL/PA， EL平面ABCD， LK为EK在平面ABCD内的射影 又LKAC, EKAC, 为二面角EACD的平面角在RtADC中，LKAC，,即， ，
10、 在Rt中， 二面角EACD的正切值为解法2：如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) PA平面ABCD，是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）设平面AEC的法向量为, , 则 即 令,则. , 二面角EACD的正切值为 20作AOBC交BC的延长线于O，面ABC面BCD，OA面BCD，连OD，则ADO就是AD与平面BCD所成的角，可求得ADO45作OEBD于E，连AE，则
11、BDAE，AEO就是二面角ABDC的平面角的补角，ABO60，EBO60，在RtAOE中，二面角ABDC的正切值为221. 解法一 （1）证明：ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，ADAB，ADPA又ABPA=A，AD面PAB. E、F分别是线段PA、PD的中点，EF/AD，EF面PAB.又EF面EFG，面EFG面PAB. （2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM/BD， EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角. 在RtMAE中， ，同理， 又，在MGE中，故异面直线EG与BD所成的角为arccos， （3）解：取AB中点H，连结GH，HE，则GH/
12、AD/EF， E、F、G、H四点共面，过点A作ATHE于T，面EFGH面PAB，AT平面EFGH，9分AT就是点A到平面EFG的距离.10分在RtAEH中，AE=AH=1，故点A到平面EFG的距离为 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.（1） 证明：=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0），=00+10+02=0，=02+10+00=0，EFAP，EFAB. 又AP、AB面PAB，且PAAB=A，EF平面PAB. 又EF面EFG，平面EFG平面PAB. （2）解：, ， 故异面直线EG与BD所成的角为arcos. （3）解：设平面EFC的法向量=（x,y,z）， 则令z=1，得=（1，0，1） 又=（0，0，1），点A到平现EFG的距离22（1）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（2）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（3）解：设点E到平面ACD的距离为在中，而点E到平面ACD的距离为
