1、惠州一中 汕头金山中学 深圳实验学校 珠海一中2020-2021学年度下学期期中考试高一年级数学试卷一、单项选择题1已知向量，且，则（ ）AB2CD12设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，则（ ）ABCD4如图，在中，点是的中点，设，则（ ）ABCD5已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6已知，则的面积的最大值为（ ）AB2CD37已知点，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）ABCD8已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为（ ）ABCD二、多项选择题9以下是真命题的是（
2、 ）A已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角B已知，为两两非共线向量，若，则C在三角形中，若，则三角形是等腰三角形D若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心 10已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有（ ）A与和都平行的有且只有一个B过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交C与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个D过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等11已知圆锥的母线长为2，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则（ ）A三棱锥体积的最大值为1B直线与所成角的范围为C三角形面积的最大值为
3、D三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为12若，是两个非零向量，且，则以下可能是与的夹角的是（ ）ABCD三、填空题13在中，角，所对的边分别为，已知，则_14已知，是单位向量，且，则_15已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形（如图所示），则_16在三棱锥中，已知平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为_四、解答题17已知，（1）若，三点共线，求与满足的关系式；（2）若，求点的坐标18如图，已知点，在同一平面内，且，（1）求的长；（2）求的面积19在锐角中，角，所对的边分别为，已知（1）求的取值范围；（2）若，求的取值范围 （可能会用到的公式：，）20如图，在四棱锥中，为
4、锐角，平面平面（1）证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值21如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，的平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比22如图直角坐标系内，在半径为1的上半圆上，是以为直角的等腰直角三角形，设，且（1）求（用表示）；（2）求点的坐标（用表示）；（3）求的面积的最大值参考答案1【答案】C2【答案】A3【答案】B4【答案】B5【答案】D6【答案】C7【答案】B8【答案】A9【答案】BD10【答案】CD11【答案】ABD12【答案】ABC13【答案】14【答案】15【答案】2616【答案】17【答
5、案】解：（1），因为，三点共线，所以向量与也共线，所以，所以与满足的关系式为（2）由，可得，或，当时，有，；当时，有，；所以点的坐标为或18【答案】解：（1）连，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以（2），所以的面积为19【答案】解：（1）由题意及余弦定理可得，由正弦定理，可得，（2）由（1）可得，所以20【答案】解：（1）证明：在平面内过作于，因为平面平面，又平面平面，所以平面，平面，所以，过，分别作、于、，易得，即，且、平面，所以平面，平面，所以，因为，平面（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，由（1）可得，为二面角的平面角， 在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，可得，因为，所以，所以，所以二面角的余弦值为21【答案】解：（1）证明：，所以平面，因为平面与平面的交线为，且，所以，因为平面，所以平面（2）设与交于，易得为的中点，连，设四棱锥的体积为，所以， 又，所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为，所以上面部分的体积为，所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:522【答案】（1），（2）（法一）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得， 所以，点的坐标为（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，所以对应的复数为，所以，所以的坐标为（3），所以，当时，的面积取最大值，且为