1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是()A.1B.1C.1D.1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0)，a2a262，a218，故双曲线方程为1.【答案】B2.已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A.4条 B.3条C.2条D.1条【解析】因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】B3
2、.双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于() 【导学号：37792075】A.2 B.2 C.4D.4【解析】由已知得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得c，解得c2，故2c4，故选C.【答案】C4.若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等【解析】若0k0,16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.
3、可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】D5.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B.2C.D.【解析】不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.【答案】D二、填空题6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_.【解析】c2mm24，e25，m24m40，m2.【答案】27.已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQ
4、F的周长为_.【解析】由双曲线方程知，b4，a3，c5，则虚轴长为8，则|PQ|16.由左焦点F(5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可知|PF|PA|2a，|QF|QA|2a，两式相加得，|PF|QF|(|PA|QA|)4a，则|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF的周长为281644.【答案】448.已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_. 【导学号：37792076】【解析】由已知得|AB|CD|，|BC|AD|
5、F1F2|2c，由2|AB|3|BC|得6c，即2b23ac，可得2e23e20，解得e2或e(舍去).【答案】2三、解答题9.双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率.【解】由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.10.已知双曲线1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积. 【导学号：37792077】【解】(1)双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为1
6、，c2a2b23b24，b21，双曲线的方程为y21.(2)a，b1，双曲线的渐近线方程为yx，令x2，则y，设直线x2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|，记双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积为S，则S2.能力提升1.已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均与曲线C：x2y26x50相切，则该双曲线的离心率等于()A. B.C.D.【解析】曲线C的标准方程为(x3)2y24，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r2，双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d2，即9b24(a2b2)，所以5b24a2，b2a2c2a2，即a2c2，所
7、以e2，e，选A.【答案】A2.设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A.3x4y0 B.3x5y0C.5x4y0D.4x3y0【解析】由题意可知|PF2|F1F2|2c，所以PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|24b，又|PF1|PF2|2a，所以4b2c2a，所以2bac，两边平方可得4b24aba2c2a2b2，所以3b24ab，所以4a3b，从而，所以该双曲
8、线的渐近线方程为4x3y0，故选D.【答案】D3.已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_.【解析】由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.【答案】x214.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，其中O为原点，求k的取值范围. 【导学号：37792078】【解】(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21中，得(13k2)x26kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得：即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)2，于是2，解此不等式得k23.由得k21.故k的取值范围是.