1、河北省宁晋中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。卷(选择题 共60分)一单项选择题（共8小题，每小题5分，计40分。在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1. 复数的共轭复数是A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D. 4. 已知两点，直线l：与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是A. B. C. D. 5. 设p：，q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
2、A. B. C. D. 6. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，c为其半焦距长，圆：与双曲线的一条渐近线的两个交点分别为坐标原点O和点P，若与圆相切，
3、则双曲线的离心率为 A. B. C. 2D. 二不定项选择题（共4小题，每小题5分，计20分）9. 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为若直线上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知动点P在双曲线上，双曲线C的左、右焦点分别为、，下列结论正确的是 A. C的离心率为2B. C的渐近线方程为C. 动点P到两条渐近线的距离之积为定值D. 当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为12. 已知是
4、椭圆长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于的任意一点，点Q与点P关于x轴对称，则下列四个命题中正确的是A. 直线与的斜率之积为定值B. C. 的外接圆半径的最大值为D. 直线与的交点M在双曲线 上 卷(非选择题 共90分) 三填空题（共4小题，每小题5分，计20分。其中15题第一空2分，第二空3分）13. 若动点P与定点的距离和动点P与直线l：的距离相等，则动点P的轨迹方程是_14. 已知圆，直线，则直线l截圆C所得弦长的最小值为_15. 已知，直线AM的斜率与直线BM的斜率之差是1，则点M的轨迹C的方程是_若点F的坐标为，P是直线l：上的一点，Q是直线PF与轨迹C的交点，且，则_16. 已知A、
5、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、，则_四 解答题（共6小题，17题10分，18-22题，每题12分）17. 若直线l的方程为若直线l与直线m：垂直，求a的值若直线l在两轴上的截距相等，求该直线的方程18. 已知直线截圆所得的弦长为，直线的方程为求圆O的方程；若直线过定点P，点在圆O上，且，Q为线段MN的中点，求Q点的轨迹方程19. 已知圆：求过点的圆的切线方程；点为圆上任意一点，求的最值20. 设抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且求抛物线C的标准方程
6、；若直线斜率存在经过焦点F，求直线l的方程21. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，且经过点求椭圆C的标准方程；若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值为坐标原点22. 已知抛物线C：经过点过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，点A，B不同于点，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N求直线l的斜率的取值范围；设O为原点，求证：为定值答案1.【答案】C【解析】解：复数，故它的共轭复数为，故选：C2.【答案】C【解析】解：命题“，“的否定是，故选：C3.【答案】D【解答】解：抛物线的方程为：，变形可得，其焦点在y轴正半轴上，且，则其焦点坐标为，故选：D4.【答案】A【解答】解：直
7、线l：，即，令，解得可得直线l经过定点，直线l：与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是故选：A5.【答案】A【解析】解：p：，解得：，q：，解得：若q是p的必要不充分条件，则，解得：故选：A6.【答案】D【解答】解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，则有，式可得：，又点A为弦EF的中点，且，即得过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是，即故选D7.【答案】C【解答】解：设点A关于直线的对称点根据题意，为最短距离，先求出的坐标的中点为，直线的斜率为1，故直线的方程为，即由，联立得，则，故A，则“将军饮马”的最短总路程为故选：C8.【答案】C【解答】解：由题意，不妨设一条渐近线方程为，与圆：联立，消
8、去y化简整理得，解得，代入得，点P的坐标为，又与圆相切，直线与直线垂直，即，化简整理得，又代入得，解得，即，双曲线的离心率为2故选C9.【答案】BCD【解答】解：A选项若两个三角形全等，则一定这两个三角形相似，但两个三角形相似未必全等，故p不是q的必要条件B选项，由，无法推出，如，但是反之成立，即满足p是q的必要条件；C选项，由，无法得到，如，时有，但是，反之成立；D选项，若，则，即，反之则，满足p是q的必要条件故选BCD10.【答案】AB【解答】解：，过P所作的圆的两条切线相互垂直，、圆心C以及两切点构成正方形，则，即P点的轨迹为，又P在直线上，所以与有交点，则圆心距，计算得到，故答案为AB
9、11.【答案】AC【解答】解：因为双曲线方程，所以，所以，所以离心率故A选项正确；B.因为双曲线方程，所以，所以渐近线方程，故B选项错误C.因为双曲线方程，所以，所以渐近线方程，设动点则即则动点到两渐近线的距离分别为，由点到直线的距离公式可得：，所以为定值，故C选项正确；D.因为双曲线方程，所以，因为动点P在双曲线C的左支上，由双曲线的定义可知：所以，所以当且仅当，也即取等号，故D选项不正确；故选AC12.【答案】BCD【解答】解：对于A，设点P的坐标为，则，解得，故A错误；对于B，由A可得，故，故B正确；对于C，设点P的坐标为，的外接圆的圆心为，半径为r，则，化简得，当且仅当时取等号，即的外
10、接圆半径的最大值为，故C正确；对于D，由A得，的方程为，的方程为，两式相乘得，代入化简得，即直线与的交点M在双曲线上，故D正确故选BCD13.【答案】【解析】解：因为定点在直线l：上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点F与直线l：垂直的直线所以动点P的轨迹方程是，即故答案为：14.【答案】【解答】解：直线l的方程为，整理为：，由得，直线l过定点，圆C的圆心为，直线l被圆C截得弦长最短，则M是弦的中点，则，此时，则，故答案为15.【答案】【解答】解：设，则，整理得点M的轨迹C的方程是，作轴于E点，记l与y轴交于N点，因为点为轨迹C的焦点，所以，因为，所以Q点的
11、纵坐标为，故，故答案是16.【答案】0【解析】解：由题意，O、P、Q三点共线设、，点P在双曲线上，有所以又由点Q在椭圆上，有同理可得、P、Q三点共线由、得故答案为：0设、，利用斜率公式得到；同理可得，结合O、P、Q三点共线即可得出的值本小题主要考查椭圆的几何性质、双曲线的几何性质、圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想17.【答案】解：直线l与直线m：垂直，解得当时，直线l化为：不满足题意当时，可得直线l与坐标轴的交点，直线l在两轴上的截距相等，解得：该直线的方程为：，18.【答案】解：根据题意，圆O：的圆心为，半径为r，则圆心到直线l的距离，若直线l：截
12、圆O：所得的弦长为，则有，解得，则圆的方程为；直线的方程为，即，则有，解得，即P的坐标为，设MN的中点为，则，则，即，化简可得：，即为点Q的轨迹方程19.【答案】解：由可得到，故圆心坐标为 过点且斜率不存在的方程为 圆心到的距离等于 故是圆的一条切线；过点A且斜率存在时的直线为：，即：，根据圆心到切线的距离为半径，可得到：化简可得到：所以切线方程为：过点的圆的切线方程为：， 由题意知点为圆上任意一点，故可设，即要求k的最大值与最小值即中的k的最大值与最小值易知当直线与圆相切时可取得最大与最小值，此时，整理可得到： 得到或 的最大值为，最小值为20.【答案】解：抛物线C：的焦点为，设点，则线段AB中点M的横坐标为，又，；抛物线C的方程为；直线l经过焦点，故可设方程为，与抛物线方程联立，得，消去y，得，解得，直线l的方程为21.【答案】解：由椭圆的定义，可知解得又所以椭圆C的标准方程为设直线l的方程为，联立椭圆方程，得，得设，点到直线l：的距离，当即，时取等；所以面积的最大值为22.【答案】解：抛物线C：经过点，解得，由题意，直线l的斜率存在且不为0，设过点的直线l的方程为，设，联立方程组可得，消y可得，且，解得，且，则，又、PB要与y轴相交，直线l不能经过点，即，故直线l的斜率的取值范围是；证明：设点，则，因为，所以，故，同理，直线PA的方程为，令，得，同理可得，因为，为定值2