1、第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理考纲展示命题探究1向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(或称向量的长度)零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是不确定的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b
2、的差aba(b)3向量的数乘和共线定理(1)向量的数乘长度：|a|a|方向当0时，a的方向与a的方向相同；当0，不符合，即B错因为|ab|2|a|2|b|22ab，|ab|2|a|2|b|22ab，则当ab0时，max|ab|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2；当ab0时，max|ab|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，即总有max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2.故选D.5设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析由于ab与a2b平行，所以存在R，使得ab(a2b)，即()a(12)b0，因为向量a，b不平行，所以0,120，解得
3、.6已知向量，|3，则_.答案9解析因为，|3，所以()|2|2329.7.设0，向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，若ab，则tan_.答案解析由ab，得sin2cos2，即2sincoscos2，因为0，所以cos0，整理得2sincos.所以tan.1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示(1)向量的夹角如图，已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0或180时，两
4、向量共线，当90时，两向量垂直(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，则a(x，
5、y)；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.4平面向量中的重要结论(1)|a|b|ab|a|b|.(2)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)(3)G为ABC的重心0G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)注意点基向量的选取和共线问题的注意事项(1)零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量(2)ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定. 1思维辨析(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()(2)平
6、面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底()(3)向量与的夹角为ABC.()(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的()答案(1)(2)(3)(4)2已知点A(1,1)，点B(2，y)，向量a(1,2)，若a，则实数y的值为()A5 B6C7 D8答案C解析(3，y1)，a(1,2)，a，则231(y1)，解得y7，故选C.3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)答案B解析由题意得()2(1,3)(4,8)(3，5)考法综述高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：平面向量基本定理及其
7、意义；用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；用坐标表示的平面向量共线的条件对用坐标表示的平面向量共线的条件的考查是比较突出的考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等命题法向量共线，垂直的条件和共线向量基本定理的应用典例(1)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)(2)已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，则2ab()A(4,0) B(0,4)C(4，8) D(4,8)(3)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的
8、中点若，则_.解析(1)设ak1e1k2e2，A选项，(3,2)(k2,2k2)，无解B选项，(3,2)(k15k2,2k12k2)，解之得故B中的e1，e2可把a表示出来同理，C、D选项同A选项，无解(2)因为向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，所以142m0，即m2,2ab2(1，2)(2,4)(4，8)(3)解法一：由，得()()，则0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.解法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得ABAT，T，M，N三点共线，.答案(1)B(2)C(3)【解题法】平面向量基本定理的应用及其坐标运算技巧(1)共线问题的解题策略向量共
9、线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线若a与b不共线且ab，则0.直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式(3)
10、坐标运算的技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则，以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题1已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba()A(2,1) B(2，1)C(2,0) D(4,3)答案B解析ba(2，1)，选B项2已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.答案D解析不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，由(ca)b，得3(1m)2(2n)对于c(ab)，则有3mn0，联立，解得3.在A
11、BC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析由题中条件得()xy，所以x，y.4已知向量a(2,1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析由向量a(2,1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则，解得，故mn3.5.设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.答案3解析由题意得(ab)(ab)0，即a22b20，则a22b2.29.3.6在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案1解析解法一：设D(x，y)，则由|1，得(x3)2y21，从而可设x
12、3cos，ysin，R.而(x1，y)，则| ，其中sin，cos.显然当sin()1时，|有最大值1.解法二：，设a(2，)，则|a|，从而a，则|a|a|1，当a与同向时，|有最大值1.7. 如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，用基底a，b表示向量_.答案ab解析易得b，a，由N，E，B三点共线知，存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b.由于a，b为基底，所以解得所以ab.创新考向以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，综合考查向量
13、与函数等知识，考查学生的应变能力与创新能力创新例题在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数，使得(1)成立，此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”若已知P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a(1，1)共线，则“向量关于和的终点共线分解系数”为()A3 B3C1 D1答案D解析设(x，y)，则由a知xy0，于是(x，x)，设(1)，则有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即.于是41320，解得1，故选D.创新练习1. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条
14、线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中x，y分别为原点O到两个顶点的向量，若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成axby的形式，则ab的最大值为()A2 B3C4 D5答案D解析如图，写出6个顶点的向量如下(1)x，(a，b)(1,0)；(2)y3x，(a，b)(3,1)；(3)y2x，(a，b)(1,2)；(4)yxyx(y2x)，(a，b)(3,2)；(5)yx，(a，b)(1,1)；(6)y，(a，b)(0,1)ab的最大值为325.2已知点A(1，1)，B(4,0)，C(2,2)平面区域D由所有满足 (1a,1b)的点P(x，y)组成若区域D的面积为8
15、，则ab的最小值为()A. B2C4 D8答案C解析如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|a|AB|，|AM|b|AC|，作CHAN，BFAM，NGAM，MGAN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形由题意知点P(x，y)组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部因为(3,1)，(1,3)，(2，2)，所以|，|，|2，所以cosCAB，sinCAB，所以四边形EFGH的面积S(a1)(b1)8，所以(a1)(b1)1，即1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取等号，故选C.创新指导1准确转化：解决向量创新问题，一定要读懂题目的本质含义，紧抓题目所给条件进
16、行恰当地转化2方法选取：对向量的创新问题，准确转化后，要观察题目特点，合理选取解题的办法，如函数的最值求法，线性规划的可行域，新型概念的融合等.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标错解错因分析此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形正解如图所示，设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)若四边形ABCD1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5)由，得D1(3，5)若四边形ACD2B为平行四边形，则.而(4,0)，(x1，
17、y5)D2(5，5)若四边形ACBD3为平行四边形，则.而(x1，y)，(2,5)，D3(1,5)综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5)心得体会时间：50分钟基础组1.2016衡水二中预测已知非零向量a，b，则“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案A解析若ab0，即ab，则ab；若ab，不一定有ab0.22016衡水二中猜题已知ABC的三个顶点A，B，C及其所在平面内一点P满足，则()AP在ABC内BP在ABC外CP在直线AB上DP是AC边的一个三等分点答案D解析由已知，得，即2，|2|，P为AC边的
18、一个三等分点故选D.32016冀州中学周测如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若a，b，则()A.abB.abC.ab D.ab答案A解析，则ab.42016枣强中学周测设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A BC. D.答案A解析因为c(1k,2k)，bc0，所以1k2k0，解得k，故选A.52016冀州中学预测设向量a(x,1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2 B2C2 D0答案B解析由向量a，b方向相反，得ab(0)，(x,1)(4，x)(4，x)，由此得解得或(舍去)，则x的值是2.62016武邑中学模拟
19、已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A B.C. D.答案A解析(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.7. 2016枣强中学一轮检测如图，已知|1，|，0，点C在线段AB上，且AOC30，设mn(m，nR)，则()A. B3C. D.答案B解析由|1，|，0可得AOB90，|2，所以OAC60，又AOC30，故OCA90，则()，()，故m，n，3，选B.8. 2016衡水中学周测O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A外心
20、B内心C重心 D垂心答案B解析如图所示，易知，因与是单位向量，故点P在BAC的平分线上，所以点P的轨迹通过ABC的内心，选B.92016冀州中学月考已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_答案2解析如图所示，由且0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，则2.10. 2016衡水中学月考ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量m(3cb，ab)，n(3a3b，c)，mn，则cosA_.答案解析mn，(3cb)c(ab)(3a3b)，即bc3(b2c2a2)，cosA.112016武邑中学周测已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及
21、t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解(1)(3,3)，(1,2)(3t,3t)(3t1,3t2)，若点P在x轴上，则3t20，解得t；若点P在y轴上，则13t0，解得t；若点P在第三象限，则解得t.(2)不能，若四边形OABP成为平行四边形，则，该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形122016枣强中学猜题在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示
22、mn，并求mn的最大值解(1)解法一：0，(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x，63y)，解得x2，y2，即(2,2)，故|2.解法二：0，则()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n,2mn)，两式相减得，mnyx，令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.,能力组13.2016衡水中学期中设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b
23、和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2C3 D4答案B解析利用向量加法的三角形法则，易得正确；利用平面向量的基本定理，易知正确，因为没有说明b，c不共线；以a的终点为圆心作长度为的圆，这个圆心须和向量b有交点，这个不一定能满足，不正确；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须满足|a|bc|，而向量a的模大小不定，所以是假命题综上，选B.142016武邑中学期中已知向量(1,3)，(3，1)，且2，则点P的坐标为()A(2，4) B.C. D(2,4)答案C解析设点P的坐标为(x，y)，由2可得(x1，y
24、3)2(3x，1y)，故有x162x，且y322y，解得x，y，故点P的坐标为.152016冀州中学猜题在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，xy且xy1，函数f(m)|m|的最小值为，则|的最小值为_扫一扫听名师解题答案解析xy，x()y()xy(xy)，xy1，xy0，A，O，B三点共线，f(m)|m|，当mcosACB时，f(m)|m|的最小值为，即cos2ACB2cos2ACB1，ACB为钝角，cosACB，ACB120，BA30，|的最小值为.162016衡水中学期末如图，已知OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法则，得2，所以22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，故设x.因为(2ab)a(2)ab，2ab，所以(2)abx.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故.