1、第2讲函数的单调性及其最值考纲展示命题探究1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间注意点正确理解函数的单调性从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间
2、上不是增函数例如，函数yx2，当x0，)时是增函数，当x(，0时是减函数.1思维辨析(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数f(x)在区间a，b上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为a，b()(5)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)g(x)也是增函数()(6)已知函数yf(x)在R上是增函数，则函数yf(x)在R上是减函数()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是(
3、)Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|答案C解析当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.3(1)f(x)在(0，)上为减函数，则Af(a2a1)，Bf 的大小关系为_(2)函数f(x)lg x2的单调递减区间是_答案(1)AB(2)(，0)解析(1)因为a2a12，又f(x)在(0，)上为减函数，所以f(a2a1)f，即AB.(2)f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)上
4、递增，故f(x)在(，0)上单调递减考法综述单调性是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等问题，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大，这一部分在导数章节有详解命题法判断函数的单调性典例(1)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()AyBy(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)解析(1)y(x1)2仅在1，)上为增函数，排除B；y2xx为减函数，排除C；因为ylog0.5
5、t为减函数，tx1为增函数，所以ylog0.5(x1)为减函数，排除D；y和tx1均为增函数，所以y在1，)为增函数，故选A.(2)由x240得x2.又ylogu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，2)答案(1)A(2)D【解题法】函数单调性的判断方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)(3)复合函数法：适用于形如yf(x)的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况 内函数t(x) 增增 减 减 外函数yf(t) 增减 增 减 yf(x) 增减 减 增 yf(x
6、)的单调性可以利用口诀“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)(5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性1设函数f(x)ln (1x)ln (1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案A解析由题意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)ln ln ，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(x)ln
7、(1x)ln (1x)f(x)，故f(x)为奇函数，选A.2已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCcabDcba答案C解析由f(x)2|xm|1是偶函数得m0，则f(x)2|x|1.当x0，)时，f(x)2x1递增，又af(log0.53)f(|log0.53|)f(log23)，cf(0)，且0log23log25，则f(0)f(log23)f(log25)，即cab.3下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)xBf(x)x3Cf
8、(x)xDf(x)3x答案D解析f(x)为指数函数模型，排除A、B.又f(x)为单调递增函数，排除C，故选D.4.已知实数x，y满足axay(0aBln (x21)ln (y21)CsinxsinyDx3y3答案D解析根据xy，函数f(x)x3单调递增，故x3y3，故选D.5已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又f(x)是偶函数且在0，)上单调递减，f(|x1|)f(2)，|x1|2，2x12，1x0)的最小值为0.()(3)函数yf(x)可能只有最大值，没有最小值()(4)定义在某
9、开区间上的单调函数一定没有最值()(5)函数y的最大值为1.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知函数f(x)在区间1,2上的最大值为A，最小值为B，则AB()A.BC1D1答案A解析函数f(x)在区间1,2上为单调递减函数，所以当x1时，f(x)取最大值A1，当x2时，f(x)取最小值B，所以AB1，故选A.3对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当02时，h(x)3x 是减函数，则h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.考法综述确定函数f(x)的值域或最值必须首先探求函数
10、在定义域内的单调情况若f(x)是基本初等函数，应先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用函数图象和性质求解；若f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域，通常在选择题、填空题中出现，有时也在解答题中与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题目命题法利用函数的单调性求函数的最值典例(1)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1C6D12(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小
11、值之和为()A2B3C4D1解析(1)由已知得当2x1时，f(x)x2；当10，b0)求最值若“和定”则“积最大”，即已知abs，则ab2，ab有最大值，当ab时取等号；若“积定”则“和最小”，即已知abt，则ab22，ab有最小值2，当ab时取等号应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”(4)导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域 1若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或8答案D解析当a2时，12时，1，f(x)对于，f(x)minf1a3，a4
12、.对于，f(x)minfa13，a8.2a为实数，函数f(x)|x2ax|在区间0,1上的最大值记为g(a)当a_时，g(a)的值最小答案22解析f(x)，其在区间0,1上的最大值必在x0，x1，x处产生，即g(a)maxf(0)，f(1)，fmaxmax|1a|，在同一坐标系中分别画出y|1a|，y的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g(a)取得最小值，此时1a，则a22(22舍去)3若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析因为f(x)所以当x2时，f(x)4；又函数f(x)的值域为4，)，所以解得10，f(x)log2log (2x)log2x
13、log2(4x2)log2x(log242log2x)log2x(log2x)22.当且仅当x时，有f(x)min.5.函数ylog3(2cosx1)，x的值域是_答案(，1解析x，cosx1.12cosx2.0f(2a1)错解错因分析忽视了条件f(x)在1,1上单调递增，从而结果错误正解f(x)在1,1上单调递增解得0a0时，f(x)ln x22ln x，f(x)在(0，)上单调递增，又f(x)ln (x)2ln x2f(x)，f(x)为偶函数故选B.22016武邑中学预测若2x5y2y5x，则有()Axy0Bxy0Cxy0Dxy0答案B解析设函数f(x)2x5x，易知f(x)为增函数，又f
14、(y)2y5y，由已知得2x5x2y5y，即f(x)f(y)，xy，xy0.32016衡水二中模拟已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案C解析由题意得，解得a0的x的取值范围是()A(0，) B.(2，)C. D.答案B解析由题意可知f(logx)0即f(|logx|)f，函数f(x)在(0，)上递增，即：|logx|，解得x(2，)故选B.5. 2016衡水二中仿真已知函数f(x)x2cosx，则f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小关系是()Af(0)f(0.6)f(0.5)Bf(0)f(0.5)f(0.6)Cf(0.6)f(0.5)f(
15、0)Df(0.5)f(0)0，f(x)在(0，)递增，所以有f(0)f(0.5)f(0.5)f(0.6)，故选B.62016枣强中学期中已知函数f(x)的值域是0,2，则实数a的取值范围是()A(0,1B1，C1,2D，2答案B解析先作出函数f(x)log2(1x)1，1x0得x1，由f(x)0，得0xtan1，0，)，所以的最小值是，故选B.82016衡水中学月考若函数f(x)在上的值域是，则实数a的值为_答案解析因为函数f(x)在区间上是增函数，值域为，所以f，f(2)2，即解得a.92016冀州中学月考yx22|x|3的单调增区间为_答案(，1，0,1解析由题意知，当x0时，yx22x3
16、(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数102016枣强中学一轮检测若函数f(x)x33x对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围是_答案解析由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，f(mx2)f(x)0可变形为f(mx2)f(x)，mx2x.构造关于m的一次函数g(m)xm2x，m2,2，可得当m2,2时，g(m)0恒成立，若x0，g(2)0，若x0，g(2)0，解得2x.112016衡水中学周测若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调增函数如果实数t满足f
17、(ln t)f2f(1)时，那么t的取值范围是_答案解析因为函数f(x)是偶函数，所以ff(ln t)f(ln t)f(|ln t|)则有f(ln t)f2f(1)2f(ln t)2f(1)f(|ln t|)f(1)|ln t|1t0且a1，若函数f(x)loga(ax2x)在3,4上是增函数，则a的取值范围是_答案(1，)解析当a1，须使yax2x在3,4上单调递增，且yax2x0恒成立，则解得a1.当0a0恒成立，即此时无解综上，可知a的取值范围是(1，)能力组13.2016枣强中学猜题对于正实数a，函数yx在上为增函数，则a的取值范围为()A. B.C(0，) D.答案B解析由函数yx的
18、图象知，函数yx在(0，)上是减函数，在(，)上是增函数，所以有，故选B.142016衡水中学期中已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x3)f(x1)，若对于任意的a，b0,2，都有0，则()Af(26)f(1)f(80)Bf(1)f(26)f(80)Cf(26)f(80)f(1)Df(80)f(1)0，所以函数f(x)在0,2上是单调递增的因为f(26)f(282)f(2)，f(80)f(0)，f(0)f(1)f(2)，所以f(80)f(1)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案C解析f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)
19、上是单调增函数，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2a1.16. 2016衡水中学期末已知函数f(x)x(x0，aR)(1)当a4时，证明：函数f(x)在区间2，)上单调递增；(2)若函数f(x)在2，)上单调递增，求实数a的取值范围解解法一：设2x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1).(1)证明：若a4，则f(x1)f(x2).2x1x2，x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即当2x1x2时，f(x1)f(x2)当a4时，函数f(x)在区间2，)上单调递增(2)x1x20，若f(x1)f(x2)0恒成立，即ax1x2恒成立又2x14，a4，即函数f(x)在2，)上单调递增时，实数a的取值范围是(，4解法二：f(x)1.(1)证明：当a4时，x2，)，x240，f(x)0，f(x)在2，)上单调递增(2)若f(x)在2，)上单调递增，则f(x)0在2，)上恒成立，即ax2在2，)上恒成立，a4，实数a的取值范围为(，4