1、-1-第1课时 利用基本不等式求最值ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.熟练掌握基本不等式的用法.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 已知 x,y 都是正数,则(1)若 x+y=s(和为定值),则当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值24;(2)若 xy=p(积为定值),则当且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值2.【做一做1】设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A
2、.400 B.100 C.40 D.20解析:xy+2 2=400,当且仅当x=y=20 时,等号成立.答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做2】已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是().A.10B.25C.5D.2 10解析:a+b2 =2 10,当且仅当a=b=10时,等号成立.答案:D ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一求代数式的最值【例 1】(1)已知 x0,y0,且1+9=1,
3、则+的最小值是.(2)已知x0,y0,且2x+3y=1,则xy的最大值为 .解析:(1)x0,y0,1+9=1,x+y=1+9 +=+9+10 2 9+10=6+10=16,当且仅当=9,且1+9=1,即 x=4,y=12 时,等号成立,此时(x+y)min=16.(2)xy=162x3y16 2+32 2=16 14=124,当且仅当 2x=3y,且 2x+3y=1,即 x=14,=16 时,等号成立.答案:(1)16(2)124ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思由 x+y2(0,0)知
4、,和为定值时,积有最大值;积为定值时,和有最小值.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练1】已知x0,y0.(1)若2x+5y=20,求u=lg x+lg y的最大值;(2)若lg x+lg y=2,求5x+2y的最小值.解:(1)x0,y0,2x+5y2 25=2 10 .又 2x+5y=20,202 10 ,10,10,当且仅当 2x=5y 时,等号成立.由 2=5,2+5=20,解得 =5,=2.所以,当 x=5,y=2 时,xy 有最大值 10.又 u=lg x+lg y=lg(x
5、y)lg 10=1,故当 x=5,y=2 时,umax=1.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三(2)由已知得 xy=100,且 x0,y0,5x+2y2 10=2 103=20 10.当且仅当 5x=2y=10 10,即 x=2 10,=5 10时,等号成立.所以 5x+2y 的最小值为 20 10.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二求函数的最值【例 2】已知 0 x13,求函数=(1 3
6、)的最大值.分析:利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.解:0 x 0.y=x(1-3x)=13 3(1 3)13 3+(1-3)2 2=112,当且仅当 3x=1-3x,即 x=16 时,等号成立.当 x=16 时,函数取得最大值112.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思利用基本不等式求最值,关键是把握基本不等式成立的三个条件,即“一正、二定、三相等”.在利用基本不等式求某些函数的最值时,
7、必须注意函数的解析式或变形式能否符合使用基本不等式的前提.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】已知 x54,求函数=4 1+14-5 的最大值.解:x54,4 5 0.y=4x-1+14-5=5-4+15-4+4.5-4x+15-4 2(5-4)15-4=2,y-2+4=2,当且仅当 5-4x=15-4,即x=1 时,等号成立.当 x=1 时,函数取得最大值 2.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一
8、题型二 题型三 题型三易错辨析易错点:忽视不等式成立的条件而致误【例 3】若 x0,b0.错解中忽视了这个条件,导致出错.正解x0,则 4x+1 的最小值为().A.2B.4C.2 2D.8解析:x0,4x+1 2 41=4,当且仅当4x=1,即x=12 时,等号成立.答案:B ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123452 若 x4,则函数 y=-x+14-().A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2解析:x4,x-40.y=-x+14-=(-4)+1-4 4-2-4=-6,当且仅当 x-4=
9、1-4,即x=5 时,等号成立.答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123453已知x1,y1且lg x+lg y=4,则lg xlg y的最大值是()A.4B.2 C.1D.14 答案:A 解析:x1,y1,lg x0,lg y0.lg x+lg y=42 lglg,lg xlg y4,当且仅当lg x=lg y=2时,等号成立.lg xlg y的最大值是4.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123454若a+2b-1=0,则y=
10、2a+4b的最小值是 .解析:a+2b-1=0,a+2b=1.y=2a+4b2 24=2 2+2=2 2,当且仅当 a=12,=14 时,等号成立.y=2a+4b 的最小值为 2 2.答案:2 2ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123455(1)已知 x-1,求 y=x+1+1的最小值;(2)已知 x0,y0,且 5x+7y=20,求 xy 的最大值.解:(1)x-1,x+10.y=x+1+1=x+1+1+1-12(+1)1+1-1=2-1=1,当且仅当 x+1=1+1,即 x=0 时,等号成立.y=x+1+1的最小值为 1.(2)x0,y0,5x+7y=20,xy=135(5x7y)135 5+72 2=135 202 2=207,当且仅当 5x=7y=10,即 x=2,y=107 时,等号成立.xy 的最大值为207.
