1、第3讲导数及其综合应用一、选择题1(2013大连调研)函数yx2ln x的单调减区间是()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析yx，且x0，令yx0，解之得0x1.函数的单调减区间为(0,1答案B2(2013江西高考)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1解析S1x2dxx3|，S2dxln 2，S3exdxe2e，S2S1S3.答案B3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析f(x)xex，f
2、(x)exxexex(1x)当f(x)0时，则x1，函数yf(x)是增函数，同理可求，x1时函数f(x)为减函数x1时，函数f(x)取得极小值答案D4设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点ca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，D中图象一定不满足条件答案D5(2013湖北高考)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则
3、实数a的取值范围是()A(，0) B(0，)C(0,1) D(0，)解析f(x)(ln xax)x(a)ln x12ax，令f(x)0，得2a，设(x)，则(x)，易知(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，(x)在(0，)上的极大值为(1)1.大致图象如图若f(x)有两个极值点，则y2a和y(x)图象有两个交点，02a1，0a.答案B二、填空题6(2013江西高考)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析yx1，y|x1.曲线在点(1,2)处的切线方程为y2(x1)，将点(0,0)代入方程，得2.答案27已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数
4、m的取值范围是_解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.答案1，)8(2013长沙调研)设直线xt，与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为_解析当xt时，f(t)t2，g(t)ln t，y|MN|t2ln t(t0)y2t.当0t时，y0；当t时，y0.y|MN|t2ln t在t时有最小值答案三、解答题9(2013新课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极
5、大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)，令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)极大值极小值yf(x)的单调增区间为(，2)，；单调减区间为.f(x)极大值f(2)44e2.10设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.(1)解f(x)12ax，由题设，yf(x)在点P(1,0
6、)处切线的斜率为2.解之得因此实数a，b的值分别为1和3.(2)证明f(x)定义域(0，)，且f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.g(x)在(0,1)上单调递增；在(1，)上单调减少g(x)在x1处有最大值g(1)0故g(x)0，即f(x)2x2.11(2012天津高考改编)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.