1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是()A.54B.45C.5432D.54【解析】5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有4种选择，由分步乘法计数原理知共有4444445种选择.【答案】B2.已知集合M1，2,3，N4,5,6,7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是() 【导学号：62980007】A.18B.17C.16D.10【解析】分两类.第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、
2、二象限内的点有339(个)；第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有428(个).由分类加法计数原理，共有9817(个)点在第一、二象限.【答案】B3.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A.12种B.9种C.8种D.6种【解析】设四张贺卡分别记为A，B，C，D.由题意，某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下： 所以共有9种不同的分配方式，故选B.【答案】B4.将1,2,3，9这9个数字
3、填在如图118的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()图118A.6种B.12种C.18种D.24种【解析】因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有236种结果，故选A.【答案】A5.体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有()A.8种B.10种C.12种D.16种【解析】首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这
4、样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有326种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果.综上可知共有16310种结果.【答案】B二、填空题6.小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有_种.【解析】当第一块地种茄子时，有43224种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有43224种不同的种法，故共有48种不
5、同的种植方案.【答案】487.从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个不同元素分别作为直线方程AxByC0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有_条.【解析】因为过原点的直线常数项为0，所以C0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有16530(条).【答案】308.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有_种.【解析】分三类：若甲在周一，则乙丙有4312种排法；若甲在周二，
6、则乙丙有326种排法；若甲在周三，则乙丙有212种排法.所以不同的安排方法共有126220种.【答案】20三、解答题9.如图119所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种(用数字作答).图119【解】不妨将图中的4个格子依次编号为，当同色时，有6515150种方法；当异色时，有6544480种方法.所以共有150480630种方法.10.用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列.(1)求这个数列的项数；(2)求这个数列中的第89项的值.【解】(1)完成这件事
7、需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘.第一步：确定百位数，有6种方法.第二步：确定十位数，有5种方法.第三步：确定个位数，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有N654120个三位数.所以这个数列的项数为120.(2)这个数列中，百位是1,2,3,4的共有45480个，百位是5的三位数中，十位是1或2的有448个，故第88个为526，故从小到大第89项为531.能力提升1.如图1110，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()图1110A.96B.84C.6
8、0D.48【解析】可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有431336种种法；当C与A所种花不同时，有432248种种法.由分类加法计数原理，不同的种法种数为364884.【答案】B2.两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局数的不同视为不同情形)共有()【导学号：62980008】A.10种B.15种C.20种D.30种【解析】由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局.当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形
9、，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2612(种)，综上可知，共有261220(种).故选C.【答案】C3.在一次运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种.【解析】分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有43224种.第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有54321120种.所以安排这8人的方式有241202 880种.【答案】2 8804.给出一个正五棱柱，用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？【解】分两步，先给上底面的5个顶点染色，每个顶点都有3种方法，共有35种方法，再给下底面的5个顶点染色，因为各侧棱两个端点不同色，所以每个顶点有2种方法，共有25种方法，根据分步乘法计数原理，共有35257 776(种)染色方案.