1、2.3变换的复合与矩阵的乘法23.1矩阵乘法的概念1二阶矩阵乘法法则： .2矩阵乘法MN的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换3矩阵MN对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N对应的变换，再进行矩阵M对应的变换二阶矩阵的乘法例1(1)已知A，B，计算AB；(2)已知A，B，计算AB，BA；并观察AB与BA相等吗？思路点拨直接运用二阶矩阵的乘法法则计算即可精解详析(1)AB.(2)AB ，BA .观察可知，ABBA.两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵，进行矩阵乘法运算时，必须按矩阵乘法法则依次进行1已知A，B，计算AB，BA.解：AB ；BA .2.(1)已知A，B，C，计算AB，AC；(2
2、)已知A，B，计算A2，B2.解：(1)AB ，AC .(2)A2 ，B2 .矩阵乘法的几何意义例2已知矩阵M，N.(1)若对平面上的图形F先实施TM变换，再把所得的图形实施TN变换，得到图形F，那么F与F有什么关系？(2)计算NM，若对平面上的图形F实施TNM变换，得到图形F0，那么F与F0什么关系？(3)根据(1)(2)，说明由矩阵NM确定的变换的几何意义思路点拨先由对称变换确定F与F的关系，再通过计算NM确定F与F0的关系，由上述关系即可说明由NM确定的变换的几何意义精解详析(1)变换TM把平面上的图形F变换成与F关于x轴对称的图形F1，变换TN把平面上的图形F1变换成与F1关于y轴对称
3、的图形F，所以F与F关于原点对称(2)NM，变换TNM是把平面上的图形F变换成与F关于原点对称的图形F0.(3)由(1)(2)知，把平面上的图形F先实施TM变换，再把所得的图形实施TN变换，与把平面上的图形F实施TNM的结果相同这也就验证了矩阵乘法NM的几何意义：“对图形连续实施两次变换(先TM后TN)的复合变换”的结论矩阵MN的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N再M)的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同3已知M1，M2，试求M2M1并对其几何意义给予解释解：M2M1 .矩阵M1和M2分别表示把平面上的点向x轴垂直压缩为原来的和，利用M1和M2
4、对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的，再压缩为实际上连续完成这两个变换，变换的结果可以用一个变换来表示，即矩阵N对应的变换4已知矩形ABCD，其中点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，先将矩形绕原点逆时针旋转90，再将所得图形作关于y轴的反射变换(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M；(2)求点A，B，C，D在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论解：(1)绕原点逆时针方向旋转90的变换矩阵为Q，而关于y轴的变换矩阵P，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得MPQ .(2)因为 ， ， ， ，所以点A，
5、B，C，D分别变换成点A(0,0)，B (0,2)，C (1,2)，D (1,0)(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示求曲线在复合变换后的解析式例3试求曲线ysin x在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N.思路点拨本题先求矩阵M、N的积，再利用矩阵变换求曲线ysin x在MN变换下的解析式精解详析MN ，即在矩阵MN变换下，则ysin 2x，即曲线ysin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y2sin 2x.此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换，可先求出两次或两次以上的变换的复合变换，即先求矩阵M
6、、N、的积，再对曲线进行变换5已知圆C：x2y21，先将圆C作关于矩阵P的线性变换，再将所得的图形绕原点逆时针旋转90，求所得的曲线方程解：绕原点逆时针旋转90的变换矩阵Q，则MQP ，设A(x，y)为圆C上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下变为A(x，y)则 .又点A在曲线x2y21上，(y)221，即y21.故所求曲线方程为y21.6已知曲线C1：x2y21，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，得到曲线C2：y21，求实数b的值解：从曲线C1得到曲线C2的变换对应的矩阵为BA ，在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P(x，y)，则有，即，所
7、以即代入曲线C1方程，得y221，即曲线C2的方程为2x2y21，即2，故b1.1已知A，B，分别计算AB和BA.解：AB ，BA .2设A，B，C，求证：(1)AB0；(2)ABAC.证明：(1)AB 0.(2)因为AC 0，所以ABAC.3求使 成立的实数a，b，c，d.解： ，a2，b0，c1，d2.4已知矩阵A，B，向量，x，y为实数若AB，求xy的值解：由已知，得A ，B .因为AB，所以，故解得所以xy.5已知矩阵M和N.(1)计算MN，NM；(2)说明M，N所表示的几何变换，解释MN、NM的几何意义解：(1)MN ，NM .(2)矩阵M所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点逆时针
8、旋转；矩阵N所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点顺时针旋转(或逆时针旋转)矩阵MN表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点顺时针旋转，再把该点绕原点逆时针旋转，即把点绕原点逆时针旋转；矩阵NM表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点逆时针旋转，再把该点绕原点顺时针旋转，即把点绕原点逆时针旋转.故矩阵MN和矩阵NM所表示的变换是同一变换6已知矩阵A，B，若矩阵AB对应的变换把直线l：xy20变为直线l，求直线l的方程解：AB .在直线l上任取一点P(x，y)，经矩阵AB变换为点Q(x，y)，则 ，即所以代入xy20，得xy20，所以直线l的方程为4xy80.7(福建高考)已知直线l：axy1在矩阵
9、A对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A，求点P的坐标解：(1)设直线l：axy1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M(x，y)由 ，得又点M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依题意解得(2)由A，得解得y00.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1,0)8已知单位正方形OABC，其中O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，先将正方形作压缩变换，对应的矩阵为，再将所得图形绕原点逆时针旋转90.(1)求连续两次变换所对应的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换把正方形OABC变成了什么图形？(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论解：(1)设压缩变换对应的矩阵为Q，绕原点逆时针旋转90的变换对应的矩阵为P，则MPQ .(2)因为 ， ， ， ，所以点O，A，B，C分别被变换到点O(0,0)，A，B，C(1,0)，即矩阵M对应的变换把正方形OABC变成了矩形OABC.(3)从几何变换的角度可以发现，上述变换可由如图所示的几何变换得到，由此可以验证与第(2)问的结果是一致的