1、常考问题5导数的综合应用 (建议用时：50分钟)1若函数yx3bx有三个单调区间，则b的取值范围是_解析由条件y4x2b，016b0，得b0.答案(2，1)2已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是_解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0，a1，f(1).答案或4(2013南通调研)设P是函数y(x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_解析因为yx(x1)2，(当且仅当x时，“”成立)设点P(x，y)(x0)，则在点P处的切线的斜率k，所以tan ，又0，)，故.答案5函数f(x)的定义域是R，f(0)
2、2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为_解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案(0，)6(2013温州模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2
3、时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4,0)7若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50
4、，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案9(2013徐州质检)现有一张长为80 cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)(1)求出x 与 y 的关系式；(2)求该铁皮盒体积V的最大值解(1)由题意得x24xy4 80
5、0，即y，0x60.(2)铁皮盒体积V(x)x2yx2x31 200x，V(x)x21200，令V(x)0，得x40，因为x(0,40)，V(x)0，V(x)是增函数；x(40,60)，V(x)0，V(x)是减函数，所以V(x)x31 200x，在x40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm3.所以该铁皮盒体积V的最大值是32 000 cm3.10(2013东北三校联考)已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围解f(x)的定义域为(1，)(1)f(x)2x1
6、0，又f(3)6100，a16.经检验此时x3为f(x)的极值点，故a16.(2)由(1)知f(x).当1x3时，f(x)0；当1x3时，f(x)162101616ln 29f(1)，f(e21)321121f(3)，所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(1,1)，(1,3)，(3，)内，直线yb与yf(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)b0.(1)解f(x)ex，由x0是f(x)的极值点，得f(0)0，所以m1，于是f(x)exln(x1)，定义域为x|x1，f(x)ex，函数f(x)ex在(1，)上单递增，且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0，当m2时，函数f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)0，故f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0，得ex0，即ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.备课札记：