1、常考问题15椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时50分钟)1(2013新课标全国卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析直线AB的斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以得.又x1x22，y1y22，所以k，所以，又a2b2c29，由得a218，b29.故椭圆E的方程为1.答案D2已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()A5x2y21 B.1C.1 D5x2y21解析由于抛物线y24x的焦点为F
2、(1,0)，即c1，又e，可得a，结合条件有a2b2c21，可得b2，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2y21.答案D3(2013湖州一模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1 C.1 D.解析依题意，得F(p,0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y24p2，所以y2p.所以A(p,2p)又点A在双曲线上，所以1.又因为cp，所以1，化简，得c46a2c2a40，即46210.所以e232，e1.答案B4已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数若双曲线右支上一点
3、P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于()A3 B4 C2 D1解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c2，故椭圆的离心率e1，则双曲线的离心率e22.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c2.设双曲线C的方程为1(a0，b0)，则有a1，b2，所以双曲线的标准方程为x21.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a2，又|PF2|4，所以|PF1|6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点所以|MO|PF1|3.答案A5(2013山东卷)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第
4、一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.解析抛物线C1：yx2的标准方程为x22py，其焦点为F；双曲线C2：y21的右焦点F为(2,0)，其渐近线方程为yx.由yx，所以x，得xp，所以点M的坐标为.由点F，F，M三点共线可求p.答案D6(2013陕西卷)双曲线1(m0)的离心率为，则m等于_解析由题意得c，所以，解得m9.答案97(2013合肥二模)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点PAl，A为垂足，如果AF的斜率为，那么|PF|_.解析抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x2，因为PA准线l，设P(m，n)，则A(2，n)
5、，因为AF的斜率为，所以，得n4，点P在抛物线上，所以8m(4)248，m6.因此P(6，4)，|PF|PA|6(2)|8.答案88(2013福建卷)椭圆T：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆T的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析直线y(xc)过点F1，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2，在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案19设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|B
6、F2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，得(1b2)x22cx12b20，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.10已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线
7、上的一点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得解得又b2a2c2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x，y)，其中x4,4，由已知2及点P在椭圆C上可得2，整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4当时，化简得9y2112，所以点M的轨迹方程为y(4x4)轨迹是两条平行于x轴的线段当时，方程变形为1，其中x4,4当0时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分；当b0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率
8、为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2，x1x2，因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.