1、-1-第1课时 距离问题与高度问题ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.了解仰角、俯角、方向角、方位角的概念及其在解三角形问题中的应用.2.了解正弦定理、余弦定理在求实际问题中的距离、高度等的作用.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.正弦定理其中R是ABC外接圆的半径.2.余弦定理及推论在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.在ABC 中,sin =sin=s
2、in=2,cos A=2+2-22,cos B=2+2-22,cos C=2+2-22.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 解析:如图所示,若设出发点为 A,则有 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 30,解得 x=2 3或 3.答案:C【做一做1】已知某人向正东方向走了x km后向右转了150,然后沿新方向走了 3 km,结果离出发点恰好 3 km,则的值为()A.3 B.2 3C.2 3或 3 D.3ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航
3、 3.仰角、俯角在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角.当视线在水平线之上时,称为仰角,当视线在水平线以下时,称之为俯角,如图所示.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 4.方位角、方向角方位角:指从正北方向沿顺时针方向转到目标方向线所成的角,如图中点B的方位角为.图图方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角,如南偏西60,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60.如图中ABC为北偏东60或东偏北30.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析
4、目标导航【做一做2】一艘海轮从A处出发,以40 n mile/h的速度沿南偏东40方向直线航行,30 min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是().A.10 2 n mileB.10 3 n mileC.20 2 n mileD.20 3 n mile解析:如图所示,AB=20 n mile,BAC=30,ABC=40+65=105,ACB=45.由正弦定理,得sin=sin,BC=sin sin=12 22 20=10 2(n mile).答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGY
5、ANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一求中间有障碍物的两点间的距离【例1】如图所示,为了开凿隧道,要测量隧道上D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C,测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80 m,BE=40 m(A,D,E,B在一条直线上),计算隧道DE的长.(精确到1 m).分析:显然,BC,AC及其夹角C都已知,故可利用余弦定理直接求得AB的长,进而减去AD与BE的长得DE的长.解:在ABC 中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=4002+
6、6002-2400600cos 60=280 000,故 AB=200 7(m).则 DE=AB-AD-BE=200 7 120409(m).即隧道 DE 的长约为 409 m.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求中间有障碍物的两点间的距离问题,可直接利用正弦定理与余弦定理求解.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练1】如图所示,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的
7、距离.测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55 m,BAC=51,ACB=75,求A,B两点间的距离(精确到0.1 m).解:由正弦定理,得sin =sin,故 AB=sin sin =55sin75 sin(180-51-75)=55sin75 sin54 65.7(m),即 A,B 两点间的距离约为 65.7 m.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二求两个不可到达的点之间的距离【例2】如图所示,已知海岸边A,B两海事监测站相距60 n mile,为了测量海平
8、面上两艘轮船C,D间的距离,在B,A两处分别测得CBD=75,ABC=30,DAB=45,CAD=60(A,B,C,D在同一个水平面内).请计算出C,D两艘轮船间的距离.分析:欲求C,D间的距离,必在三角形内求解,本题既可在ACD内求解,又可在BCD内求解,已知一个角,则可根据已知条件求出三角形的另外两条边.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解法一在ABD 中,由正弦定理,得sin=sin,AD=60sin(30+75)sin180-(45+30+75)=60sin105sin30=6
9、0 6+2412=30(6+2)(n mile).同理,在ABC 中,由正弦定理,得sin=sin,AC=60sin30sin180-(45+30+60)=6012sin45=30 22=30 2(n mile).ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 在ACD 中,由余弦定理得,CD=2+2-2cos60=900 2+900 (6+2)2-2 900 2 (6+2)12=1 800+900 8+3 600 3-1 800 3-1 800=7 200+1 800 3=30 8+2 3(n m
10、ile).C,D 两艘轮船间的距离是 30 8+2 3 n mile.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解法二在ABC 中,由正弦定理,得sin=sin,BC=60sin(60+45)sin180-(45+60+30)=60sin105sin45=60 6+24 22=30(3+1)(n mile).同理,在ABD 中,由正弦定理,得sin=sin,BD=60sin45sin180-(45+30+75)=60 22sin30=60 2212=60 2(n mile).ZHISHISHU
11、LI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题是解决测量不能到达的两点间的距离的问题,这是测量中的常见题型,需要将求距离问题转化为三角形问题进行思考,解决方法一般是通过解一系列的三角形,达到求解目的.在BCD 中,由余弦定理得CD=2+2-2cos75=900 (3+1)2+3 600 2-2 30 (3+1)60 2 6-24=3 600+1 800 3+7 200-900 (6+2)(6-2)=7 200+1 800 3=30 8+2 3(n mile),C,D 两艘轮船间的距离是 30 8+2 3 n
12、 mile.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练2】海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,则B岛与C岛之间的距离是().A.10 3 n mileB.10 63 n mileC.5 2 n mile D.5 6 n mile解析:在ABC 中,C=180-60-75=45,由正弦定理,得sin60 =10sin45 ,解得BC=5 6 n mile.答案:D ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYAN
13、LIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三求底部可到达的物体的高度【例3】在国庆期间,去北京旅游的王凡在天安门广场A处看到正前方上空一红灯笼,测得此时的仰角为45,前进20 m到达B处,测得此时的仰角为60.王凡身高1.8 m,试计算红灯笼的高度.(精确到1 m).分析:根据题意画出平面图形,解ABC可得BC,在RtBDC中可求得CD,进而可得CD.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:由题意画出示意图(AA表示王凡的身高).AB
14、=20 m,CAB=45,CBD=60,在ABC 中,sin =sin45,BC=sin45 sin15=20 22 6-24=20(3+1)(m).在 RtCDB中,CD=BCsin 60=10(3+3)(m),CD=1.8+10(3+3)49(m).即红灯笼的高度约为 49 m.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求底部可到达的物体的高度,实质就是解直角三角形.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一
15、题型二 题型三 题型四【变式训练3】如图所示,为测量校园内一棵松树AB的高度,一个人站在距离松树a m的E处,利用测角仪测得仰角ACD的度数为,已知测角仪的高度为b m,求松树的高.解:由题意可知DC=BE=a m.由正弦定理,得 sin=cos,即AD=atan m.所以AB=(b+atan)m,故松树的高为(b+atan)m.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四求底部不可到达的物体的高度【例4】一座塔周围有围栏,要测量它的高度,某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m以后
16、,望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30,求塔的高度.分析:依题意画出直观图如图所示,设某人在点C,AB为塔高,他沿CD前进,且CD=40 m.塔高AB为定值,要使仰角AEB最大,则BE必最小,故BE的长为点B到CD的距离.要求AB,必须先求BE,由于DBE是直角三角形,可在DBC中先求出DB或BC,这样BE可求,则问题可解.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型一 题型二 题型三 解:如图所示,在BDC中,CD=40 m,BCD=90-60=30,DBC=180-45=135.由正弦定理,得sin
17、=sin,BD=sin sin=40sin30 sin135 =20 2(m).在 RtABE 中,tanAEB=,AB 为定值,若要使仰角AEB 最大,则 BE 要最小,即 BECD,这时AEB=30.在 RtBED 中,BDE=180-135-30=15,BE=BDsinBDE=20 2sin 15=10(3-1)(m).在 RtABE 中,AB=BEtanAEB=10(3-1)tan 30=103(3-3)(m).塔的高度为103(3-3)m.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型一 题型二 题型三 反
18、思本题既有方向角,又有仰角,要注意运用空间想象作图,作出的示意图应是立体图,这是本题求解的一个关键;破解“沿途测得塔的最大仰角”是本题求解的第二个关键.已知塔与塔所在的平面是垂直的,这样就有了直角三角形,不但为求塔的高度提供了三角形模型,而且还顺利地找到了“最大的仰角”.在解三角形的实际应用问题中,弄清楚与测量有关的概念,在正确作出示意图的同时,还要注意简单的涉及空间图形的问题.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型一 题型二 题型三【变式训练4】如图所示,某湖心岛上有一棵树,由于不能进入岛上,为测得它的高度
19、h,在湖边的地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角OAP=30,在B处测得点P的仰角OBP=45,又测得AOB=60,求树的高度h.(精确到0.1 m).解:在 RtPAO 中,AO=tan30 =3h(m).在 RtPBO 中,BO=tan45=h(m).在ABO 中,由余弦定理,得 202=(3h)2+h2-2 3hhcos 60,解得 h=20 4-313.3(m),即树的高度 h 约为 13.3 m.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 12341如图所示,某河段的两岸可视为平行的,在河段的一岸
20、边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得CAB=75,CBA=45,且AB=200 m,则A,C两点间的距离为().A.200 63 m B.100 6 mC.100 63 m D.200 2 m答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 12342如图,测量河对岸塔高AB时,选择与塔底在同一水平面的两个测量点C与D,已知测得BCD=75,BDC=45,CD=60 m,在点C处测得塔顶A的仰角为30,则塔高为().A.20 2 mB.20 3 mC.20 6 mD.24 2 m解析:在BCD 中,CBD=180-75-
21、45=60,sin60=sin45,=60 22 32=60 2 3(m).在ABC 中,AB=BCtan 30=60 2 3 33=20 2(m).答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 12343如图所示,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角=60,在塔底C处测得点A的俯角=45.已知塔高60 m,则山高为 m.解析:在ABC 中,BC=60 m,BAC=15,ABC=30.由正弦定理,得 AC=60sin30 sin15 =30(6+2)(m),所以 CD=ACsin 45=30(3+1)(
22、m).答案:30(3+1)mZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 12344 如图所示,为测量河对岸 A,B 两点间的距离,在河的这边测出 CD的长为 32 km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,求A,B 两点间的距离.解:在BCD 中,CBD=180-30-105=45.由正弦定理,得sin30 =sin45,则 BC=sin30 sin45 =64(km).在ACD 中,CAD=180-60-60=60,ACD 为等边三角形.AC=CD=32 km.在ABC 中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45=34+616 2 32 64 22=38,AB=64 km.河对岸 A,B 两点间的距离为 64 km.