1、-1-1.1 正弦定理ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.能够利用向量的方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.2.会求三角形的面积和外接圆的半径.3.会利用正弦定理解决实际问题.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在ABC中(1)正弦定理的变形:,sin=sin=sin.abc=sin Asin Bsin C;=sinsin,=sinsin,=sinsin;s
2、in=sin=sin=+sin+sin+sin.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航(2)正弦定理中的比值大小.设ABC的外接圆的半径为R,则有sin=sin=sin=2.上述结论可变形为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A=2,sin =2,sin =2;ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述:正弦定理只适用于锐角三
3、角形;正弦定理不适用于钝角三角形;在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值;在ABC中,sin Asin Bsin C=abc.其中正确的个数是().A.1B.2C.3D.4解析:正弦定理适用于任意三角形,故均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故正确;由比例性质和正弦定理可推知正确.故选B.答案:BZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做 1-2】在锐角三角形 ABC 中,若 a=3,ABC 的外接圆半径为 3,则=.解析:sin=2,sin A=2=32 3=3
4、2.0Ab,B=6.C=-A-B=2.答案:2ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中,解下列三角形.(1)A=45,C=30,c=10;(2)a=3,=2,=45.分析:(1)分清已知和所求,选择一个与条件相吻合的正弦定理的式子进行求解;(2)已知两边及其中一边的对角,由正弦定理先求出另一边对角的正弦值,然后再求其他边与角.解:(1)c=10,A=45,C=30,B=180-(A+C)=105.由sin =sin ,得a=sin sin =10s
5、in45 sin30 =10 2.由sin =sin ,得b=sin sin =10sin105 sin30=20sin 75=20 6+24=5 6+5 2.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)由sin =sin,得sin A=sin=3sin45 2=32.asin Bba,该三角形有两个解.A=60或 A=120.当 A=60时,C=180-A-B=75,c=sin sin =2sin75 sin45 =6+22.当 A=120时,C=180-A-B=15,c=sin sin
6、=2sin15 sin45 =6-22.综上所述,A=60,C=75,c=6+22,或A=120,C=15,c=6-22.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形的内角和定理,可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理计算出三角形的另两边.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断解的情况.若有解,再求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦值求角,还需对角的情况加以讨论,如果有解,是一解还是两解,再由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用
7、正弦定理求出第三边.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练1】(1)在ABC中,B=30,C=45,c=1,求b及三角形外接圆的半径.(2)在ABC 中,b=10,c=5 6,=60,解三角形.解:(1)由正弦定理,得sin =sin =2,b=sin sin =sin30 sin45 =22,2R=sin =1sin45 =1 22=2,即R=22.(2)b=10,c=5 6,=60 90,本题有一解.sin B=sin=10sin60 5 6=22,=45,A=180-(B+C
8、)=75.a=sin sin =10sin75 sin45 =10 6+24 22=5(3+1).ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二判断三角形的形状【例 2】在ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2,且为锐角,试判断ABC 的形状.分析:三角形的形状通常由三角形内角的关系确定,也可以由三角形三边的关系确定.本题可考虑把边化成角,寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判定.解:由 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2,得sin B=22.B 为锐
9、角,B=45.又 lg a-lg c=lg 22,=22.由正弦定理,得sin sin =22,即sin sin(135-)=22.化简得 sin A=cos A.解得 tan A=1,A=45.C=180-A-B=90.ABC 为等腰直角三角形.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思根据已知条件,通过恰当地恒等变形得出边之间的关系或角之间的关系,从而判断出三角形的形状.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型
10、一 题型二 题型三 题型四【变式训练2】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为().A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定解析:由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A.0A,sin A0,ABC为直角三角形.答案:Asin A=1,A=2,ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三求三角形的面积【例 3】在ABC
11、 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B=3,cos =45,=3.(1)求sin C的值;(2)求ABC的面积.分析:(1)先利用三角形内角和定理用角A表示角C,再利用两角差的正弦公式求sin C;(2)利用正弦定理求出a的值,然后由公式SABC=12 sin C 计算可得.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)A,B,C 为ABC 的三个内角,且 B=3,cosA=45,=23 ,sin A=35.sin C=sin 23-=32 cos A+12 sin A=3+
12、4 310.(2)由(1)知 sin A=35,sinC=3+4 310,且B=3,=3,在ABC 中,由正弦定理,得 a=sin sin =65.ABC 的面积 S=12 sin C=12 65 3 3+4 310=36+9 350.反思在ABC 中,若 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,则 SABC=12 sin A=12 sin B=12 sin C,这是解三角形中一个重要的公式,经常在高考题中出现,同学们应重视.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 3】在ABC
13、中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知A=4,sin 4+sin 4+=.(1)证明:B-C=2;(2)若 a=2,求ABC 的面积.(1)证明:由 bsin 4+sin 4+=及正弦定理,得sin Bsin 4+sin Csin 4+=sin A,sin 22 sin+22 cos sin 22 sin+22 cos=22,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1.0B34,0 6045,B 最小,最小边是 b.由正弦定理得 b=sin sin =sin45 sin60 =63.答案:AZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLI
14、AN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123453 在ABC 中,已知 B=30,b=2,则+-sin+sin-sin=()A.2 2 B.2 3 C.22 D.32解析:由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为ABC外接圆的半径.+-sin+sin-sin=2=sin=2sin30=2 2.答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123454 在ABC 中,AC=3,=45,=75,则=_.解析:AC=3,=45,=75,则 B=180-(A+C)=6
15、0.由正弦定理,得 sin=sin,BC=sinsin=3 22 32=2.答案:2ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123455在ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sin A=2sin Bcos C,试判断ABC的形状.解:由正弦定理,得 sin A=2,sin B=2,sin C=2,为ABC 外接圆的半径.sin2A=sin2B+sin2C,2 2=2 2+2 2,即 a2=b2+c2,故 A=90.C=90-B,cos C=sin B.2sin Bcos C=2sin2B=sin A=1.sin B=22,=45或B=135(舍去).ABC 为等腰直角三角形.