1、课时素养检测三十六函数的零点与方程的解(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.函数f(x)=3x-2的零点为()A.log32B.C.D.log23【解析】选A.由f(x)=3x-2=0,得3x=2,即x=log32.2.函数f(x)=log2x-的零点所在的大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.由题意,f(2)=1-=-0,所以f(2)f(3)0,所以函数f(x)=log2x-的零点所在的大致区间是(2,3).3.函数f(x)=-x的零点的个数为()A.0B.1C.2D.
2、3【解析】选B.令f(x)=0,则-x=0,=x,画出y=,y=x的图象如图所示,由图可知,y=,y=x的图象有一个交点,即f(x)=0有一个零点.4.函数f(x)=ln2x-3ln x+2的零点是()A.(e,0)或(e2,0)B.(1,0)或(e2,0)C.(e2,0)D.e或e2【解析】选D.f(x)=ln2 x-3ln x+2=(ln x-1)(ln x-2),由f(x)=0得x=e或x=e2,而函数零点指的是曲线与坐标横轴交点的横坐标.5.函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意得,f(0)=-20,f=-20,f(1)=e+10,根据函
3、数零点存在定理可知选C.6.(多选题)已知函数f(x)=则该函数零点为()A.4B. 3C. -4D.0【解析】选A、C、D.当x0时,x(x+4)=0,所以x=0或x=-4,因为x0,所以x=-4.当x0时,x(x-4)=0,所以x=0或x=4,因为x0,所以x=4或x=0.故函数的零点为-4,0,4.二、填空题(每小题5分,共10分)7.函数f(x)=x-在(-,0)内的零点为x=_.【解析】依题意,令x-=0,即x2-1=0,解得x=1,又x(-,0),则x=-1.答案:-18.(1)将函数y=ex的图象先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x
4、)的零点为_.(2)函数f(x)=的零点个数为_个.【解析】(1)将函数y=ex的图象先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到函数y=ex-1-3.令y=ex-1-3=0,得到其零点为1+ln 3.(2)方程x+2=0(x0)的解为x=1,所以函数f(x)有两个零点:-2与1.答案:(1)1+ln 3(2)2三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=.(2)f(x)=x2+2x+4.(3)f(x)=2x-3.(4)f(x)=1-log3x.【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是x=-3.故函数f(x)=存在零
5、点,零点是x=-3.(2)令x2+2x+4=0,由于=22-414=-120,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是x=log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是x=3.10.确定函数f(x)=lox+x-4的零点个数.【解析】设y1=lox,y2=4-x,则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数,作出两函数的图象如图.由图知,y1与y2在 区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,
6、y2=-4,所以在(4,8)内两函数图象又有一个交点,所以两函数图象有两个交点,即函数f(x)=lox+x-4有两个零点.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知函数f(x)=ln x+2x-1的零点在区间(k,k+1)上,kN,则k的值为 ()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.已知y=ln x和y=2x均为增函数,故f(x)=ln x+2x-1在定义域内也为增函数,因为f=ln+-1=-20,所以函数f(x)的零点在区间上,又函数f(x)的零点在区间(k,k+1)上,kN,所以k=0.2.若函数y=f(x)在
7、R上递增,则函数y=f(x)的零点()A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.可能有无数个【解析】选B.由于函数y=f(x)在R上递增,所以函数的图象最多与x轴有一个交点,即函数y=f(x)的零点至多有一个.3.已知0a1,则函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为()A.2B.3C.4D.2,3或4【解析】选A.函数f(x)=ax-|logax|的零点个数等于函数y=ax和函数y=|logax|的图象的交点个数.如图所示,数形结合可得,函数y=ax和函数y=|logax|的图象的交点个数为2,故0a0,不存在实数c(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)0,有可能存在实
8、数c(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)1时,y=logax在上单调递增,又x=1时,loga1=f(1)=f(3)=0,所以f(x)与y=logax在不存在四个交点,所以0a0时,(m-2)2-4(2m-1)0,解得m6+2,由题可得f(0)f(1)0,所以(2m-1)(1+m-2+2m-1)0,解得m,又当f(0)=0时,m=,此时方程另一根为x=,舍去;当f(1)=0时,m=,此时方程另一根为x=,符合题意,综上所述:实数m的取值范围是m或m=6-2.答案:m或m=6-2三、解答题(每小题10分,共30分)9.求实数m的取值范围,使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=
9、0,(1)有两个正实数根.(2)有两个实数根,且一个比2大,一个比2小.【解析】(1)所以-3m-1.(2)设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则f(2)0,所以m0时,f(x)=1-,所以f(1)=1-=0.(2)当x=0时,f(x)=1,函数无零点.当x0时,令f(x)=0,即1-=0,解得x=10.所以1是函数f(x)的一个零点.当x1时,由(*)得x=0,所以是函数f(x)的一个零点;当a=1时,方程(*)无解;当a0(舍去).综上所述,当a1时,函数f(x)的零点是1和;当a1时,函数f(x)的零点是1.11.已知函数f(x)=lox+-.(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是减函数.(2)证明f(x)有零点.(3)设f(x)的零点x0落在区间内,求正整数n.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),设0x10,x1x20-=0,lox1lox2lox1-lox20,因为f(x1)-f(x2)=(lox1-lox2)+0,所以f(x1)f(x2),故f(x)在定义域(0,+)上是减函数.(2)因为f(1)=0+-=-80,所以f(1)flog28-3=0,f=lo+5-=log210-=log25-=log2-log20,所以ff0,所以f(x)的零点在区间内,故n=10.
