1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修5第二章 解三角形成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解三角形 第二章 第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5本章归纳总结第二章 第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5专 题 研 究 3知 识 结 构 1知 识 整 合 2第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5知 识 结 构第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学
2、必修5第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5知 识 整 合第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修51深化对正、余弦定理的理解正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：在ABC 中，asinA bsinB csinC.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5正弦定理有以下三种变形形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA a2R，sinB b2R，sinC c2R；其中 R 是ABC
3、 外接圆的半径abcsinABC.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.余弦定理的推论：cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修52剖析斜三角形的类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的
4、元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为ABC，A、B、C所对的边分别为a、b、c)：第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由ABC180求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC1
5、80，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5特别提醒：在用正弦定理求角、用余弦定理求边的时候常出现增解的情况，因此需根据三角形中边、角的关系进行取舍第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修53解三角形常用的边、角关系及公式总结(1)三角形内角和等于 180.(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)三角形中大边对大角，小边对小角(4)三角函数的恒
6、等变形：sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，sinAB2cosC2，cosAB2sinC2.(5)三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用与逆用等第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修54解读判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边、角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2b2c2，b2c2a2，c2a2c2，b2c2a2，c2a2b2中有一个关系式成立时，并
7、不能得出该三角形为锐角三角形的结论第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修55常用三角形面积公式总结(1)SABC12aha12bhb12chc(ha，hb，hc 分别为 a，b，c 边上的高)(2)SABC12absinC12bcsinA12acsinBabc4R(R 为ABC 的外接圆半径)(3)SABC ppapbpc(p12(abc)(4)SABC12(abc)r(r 为ABC 的内切圆半径)第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修56点击正、余弦定理解几何问题的注意点(1)几何图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是
8、问题求解能否继续的转折点(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变形公式，正弦定理，余弦定理，或是综合运用这两个定理(3)要有应用方程思想解题的意识，还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意识第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修57解正、余弦定理解实际应用题的步骤实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解解三角形应用题的一般步骤是：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型(3)
9、选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5专 题 研 究第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解三角形与三角函数有着必然的联系，这类问题不但要用到正弦定理、余弦定理等基础知识，同时还需利用三角公式进行恒等变换，这是高考的热点试题之一，三角形中的三角变换，除了三角公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点正、余弦定理与三角函数的综合第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(1)在ABC 中，因为 ABC，
10、所以 sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC，sinAB2cosC2，cosAB2sinC2.(2)三角形边角关系定理及面积公式，在解三角形中常会用到第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5例 1 设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 A23，a2bcosC，求：(1)B 的值；(2)函数 f(x)sin2xcos(2xB)在区间0，2上的最大值及对应的 x 值第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5分析(1)由 a2bcosC 考虑利用正弦定理可得 sinA2sinBco
11、sC，而 A(BC)，代入整理可求得 B.(2)利用辅助角公式对函数化简，可得 f(x)3sin(2x6)，结合已知 x0，2及正弦函数的性质可求解第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析(1)由 a2bcosC，得 sinA2sinBcosC.A(BC)，sin(BC)2sinBcosC，整理得 sin(BC)0.B、C 是ABC 的内角，BC.又A23，B6.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)f(x)sin2xcos(2x6)32sin2x 32 cos2x 3sin(2x6)，由 0 x2，得62x676
12、.故 f(x)max 3，此时 2x62，即 x6.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5已知向量 m(cosx，sinx)，n(cosx,2 3cosxsinx)，0，函数 f(x)mn|m|.x1，x2 是集合 Mx|f(x)1中的任意两个元素，且|x1x2|的最小值为2.(1)求 的值；(2)在ABC 中，a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边，f(A)2，c2，SABC 32，求 a 的值第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5 解析 (1)f(x)mn|m|cos2x2 3sinxcosxsin2x1cos2x
13、 3sin2x12sin(2x6)1，由题意知 T，又 T 2|2|，0，故 1.(2)f(x)2sin(2x6)1，f(A)2sin(2A6)12.sin(2A6)12.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修50A，62A6BabsinAsinBcosAcosB；在ABC 中，ABC，ABC，AB22C2，则 cos(AB)cosC，sin(AB)sinC，sinAB2cosC2；第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5在ABC 中，a2b2c2cosC2；a2b2c2cosC0C2；a2b2c2cosC00C2.第二章 本
14、章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5例 2 在ABC 中，若 cos2A2bc2c，试判断ABC 的形状分析 将条件中的边转化为角或将角转化为边解析 解法一：cos2A2bc2c，1cosA2bc2c，cosAbc，即b2c2a22bcbc，c0，c2a2b2.ABC 为直角三角形第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解法二：cos2A2bc2c，1cosA2bc2c.cosAbc.cosA2RsinB2RsinCsinBsinC.sinCcosAsinB.sinCcosAsin(AC)sinAcosCcosAsinC.sinAc
15、osC0.0A，sinA0.cosC0，C90.故ABC 为直角三角形第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5方法总结 根据所给条件判断三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边转化的手段主要有：通过正弦定理实现边角转化，通过余弦定理实现边角转换，通过三角变换找出角之间的关系，通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5在ABC 中，已知 3b2 3asinB，且 cosBcosC，角 A是锐角，则ABC 的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C
16、等腰直角三角形 D等边三角形第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析 由 3b2 3asinB，得 bsinB2 3a3，根据正弦定理，得 bsinB asinA，所以 asinA2 3a3，即 sinA 32.又角 A 锐角，所以A60.又 cosBcosC，且B、C 都为三角形的内角，所以BC，故ABC 为等边三角形答案 D第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5在高考中解三角形问题常与平面向量知识(主要是数量积)结合在一起进行考查判断三角形形状或结合正弦定理、余弦定理求值，这也是高考命题的新趋势解三角形与平面向量的综
17、合应用第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5例 3 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABACBABC1.(1)求证：AB；(2)求边长 c 的值；(3)若|ABAC|6，求ABC 的面积分析 本题主要考查以向量知识为载体的正弦定理、余弦定理的应用，解题的关键是数量积的转化，边角关系的转化第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析(1)证明：ABACBABC，bccosAaccosB，即 bcosAacosB.由正弦定理，得 sinBcosAsinAcosB，sin(AB)0.AB，AB0，即 AB
18、.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)解：ABAC1，bccosA1.由余弦定理，得 bcb2c2a22bc1，即 b2c2a22.由(1)，得 ab，c22，c 2.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(3)解：|ABAC|6，|AB|2|AC|22ABAC6，即 c2b226，c2b24.c22，b22，b 2.ABC 为正三角形SABC12 2 2sin60 32.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5方法总结(1)求角的问题一般用正弦定理把边转化为角再求解，求边的问题一
19、般用余弦定理把角转化为边再求解(2)ABC 为正三角形时，若边长为 a，则 SABC 34 a2.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若 sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，且ACAB4，求ABC 的面积 S.解析 由已知得 b2c2a2bc，bcb2c2a22bccosA，cosA12，sinA 32.由ACAB4，得 bccosA4，bc8.S12bcsinA2 3.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5三角形中的几何计算实际体现了三角形的几何性质
20、的应用我们在利用正、余弦定理求解三角形问题时，是通过代数运算去判断三角形的边角关系数形结合思想是通常情况下解决数学问题的途径，如果我们能从图形中寻找其几何关系，并构造相应的三角形，则几何图形之间的关系就可以转化为解三角形的问题解决三角形中的几何计算第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5例4 如图所示，已知MON60，Q是MON内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长分析 由Q点向MON的两边作垂线，则垂足与O，Q四点共圆，且OQ为圆的直径，由此可得OQ的长第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析 作 QAOM 于
21、 A，QBON 于 B，连结 AB，则QA2，QB11，且 O，A，Q，B 都在以 OQ 为直径的圆上AOB 和AQB 为同一弦 AB 所对的圆周角，且两角互补AOB60，AQB120.在AQB 中，由余弦定理，得 AB2AQ2BQ22AQBQcosAQB221122211cos120147，AB7 3.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5在 RtOBQ 中，OQOBsinOQBOBsinOAB.又在AOB 中，OBsinOAB ABsin60，OQ ABsin6014.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5方法总结 求
22、解三角形中的几何计算问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来与多边形问题一样，其他的几何问题也可以转化为三角形问题，关键在于构造三角形(一般可以构造直角三角形)求解本题的关键是通过过一点作角两边的垂线所围成四边形的对角互补，可知此四边形内接于一圆，OQ为圆的直径第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45.求BD的长分析 由于AB5，ADB45，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，关键是确定BAD的正弦值，在ABC中，AB5，AC9
23、，BCA30，因此可用正弦定理求出sinABC，再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析 在ABC 中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理得ABsinBCAACsinABC，sinABCACsinBCAAB9sin305 910.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsin(180ABC)sinABC 910.同理在ABD 中，AB5，sinBAD 910，ADB45，ABsin45BDsinBAD，即 522BD910，解得 BD9 22.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版
24、 数学 必修5解三角形中的方程思想例 5(2014安徽高考)设ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，ABC 的面积为 2，求cosA 与 a 的值分析 由三角形的面积公式求出 sinA 的值，再利用同角三角函数基本关系求出 cosA；在ABC 中由余弦定理求解 a.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析 由三角形面积公式，得 S1231sinA 2，sinA2 23，因为 sin2Acos2A1.所以 cosA 1sin2A18913.当 cosA13时，由余弦定理得a2b2c22bccosA3212213138，所以
25、 a2 2.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5当 cosA13时，由余弦定理得a2b2c22bccosA3212213(13)12，所以 a2 3.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5方法总结(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等交换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解(2)解三角形常与向量、三角形函数及三角恒等交换等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA 3acosB.(1)求角 B 的大小；(2)若 b3，sinC2sinA，求 a，c 的值解析(1)由 bsinA 3acosB 及正弦定理 asinA bsinB，得sinB 3cosB，所以 tanB 3，所以 B3.第二章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)由 sinC2sinA 及 asinA csinC，得c2a.由 b3 及余弦定理 b2a2c22accosB，得9a2c2ac.所以 a 3，c2 3.