1、23.2事件的独立性有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球”问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响问题2：试求P(A)，P(B)提示：P(A)，P(B).问题3：P(A|B)与P(A)相等吗？提示：相等问题4：P(AB)为何值？提示：P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B).事件的独立性概念一般地，若事件A，B满足P(A|B)P(A)，则称事件A，B独立性质(1)若A，B独立，且P(A)0，则B，A也独立，即A与B相互独立(2)约定任何事件与必然事件独
2、立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)概率计算公式(1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)P(A)P(B)(2)推广：若事件A1，A2，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)结论如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.1事件A与B相互独立就是事件A(或B)是否发生不影响事件B(或A)发生的概率2相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
3、率的积相互独立事件的概念例1容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？思路点拨从相互独立事件的定义入手判断精解详析(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的
4、概率有影响，所以二者不是相互独立事件(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件一点通解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P(AB)P(A)P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件1同时掷两颗质地均匀的骰子，A第一颗骰子出现奇数点，B第二颗骰子出现偶数点，判断事件A，B是否相互独立解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A第一颗骰子出现1,3,5点，共有3种结果B第二颗骰子出现2,4,6点，
5、共有3种结果AB第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点，共有CC9种结果由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P(A)，P(B)，P(AB).P(AB)P(A)P(B)，即事件A、事件B相互独立2分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”，问：A，B，C中哪两个相互独立？解：P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(BC)0.25，P(AC)0.25，可以验证：P(AB)P(A)P(B)，P(BC)P(B)P(C)，P(AC)P(A)P(C)事件A与B相互独立，事件B与C相互独立
6、，事件A与C相互独立求相互独立事件发生的概率例2制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件(1)两件都是正品的概率；(2)两件都是次品的概率；(3)恰有一件正品的概率思路点拨两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件精解详析记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件(1)P(AB)P(A)P(B)0.900.800.72；(2)P()P()P()0.100.200.02；(3)P(C)P(A)P(B)P
7、(A)P()P()P(B)0.900.200.100.800.26.一点通解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义若A，B相互独立，是与B，A与，与B也是相互独立的3甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为_解析：P.答案：4在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P(甲)0.8，P(乙)0.6，P(丙)0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为_，三人中至少有一人被选上的概率为_解析：三人都被选上的概率为P1P(甲)P(乙)P(丙)0.80.60.50.24.三人中至少有一人被选中的概率为P21(1
8、P(甲)(1P(乙)(1P(丙)10.20.40.510.040.96.答案：0.240.965一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件(1)P(AB)P(A)P(B).故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球
9、都是红球的概率是.(2)P(CA)P(C)P(A).故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.相互独立事件概率的应用例3某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X的分布列思路点拨(1)利用对应条件去求获赔的概率；(2)分析X的所有取值，写出分布列精解详析设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k1,2,3
10、，由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3).P(1)，P(2)，P(3)，(1)该单位一年内获赔的概率为1P(123)1P(1)P(2)P(3)1.(2)X的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000.P(X0)P(123)P(1)P(2)P(3)，P(X9 000)P(A123)P(1A23)P(12A3)P(A1)P(2)P(3)P(1)P(A2)P(3)P(1)P(2)P(A3)，P(X18 000)P(A1A23)P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(A2)P(3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3).P(X27 000
11、)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).综上知，X的分布列为X09 00018 00027 000P一点通解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则A，B中至少有一个发生的事件为AB；A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为；A，B恰有一个发生的事件为AB；A，B中至多有一个发生的事件为AB.62014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨天气预报提示在未来24小时，深圳A，B两地区有强降雨的概率分别为，.则A，B两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为_(假设A，B两地距离较远，是否降雨相互独立)解析
12、：转化为对立事件求解：P11.答案：7某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别是，.如果对这三名短跑运动员的100 m跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100 m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P(A)，P(B)，P(C)，所以P()1，P()1，P()1.设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率为P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).三人都不合格的概率为P
13、0P()P()P()P().所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是.(2)因为AB，AC，BC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P2P(ABACBC)P(AB)P(AC)P(BC)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C)P()P(B)P(C).恰有一人合格的概率为P11P0P2P31.由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行
14、计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率对应课时跟踪训练(十三)一、填空题1坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是_事件解析：由题意知，A1是否发生，对A2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件答案：相互独立2有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是_解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是
15、精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)据题意可知P(A)，P(B)，故P(AB)P(A)P(B).答案：3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2.故甲队获得冠军的概率为P1P2.答案：4甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为_解析：P0.60.30.40.70.60.70
16、.88.答案：0.885一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是_解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2,3,4,5,6点中之一时，通过第一关，所以P(A).设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)P(B)1P()1.所以连过前两关的概率为：P(A)P(B).答案：二、解答题6天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨
17、相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P10.20.30.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2(10.2)(10.3)0.80.70.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P31P210.560.44.7设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器
18、需要照顾的概率解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件(1)由已知得P(AB)P(A)P(B)0.05，P(AC)P(A)P(C)0.1，P(BC)P(B)P(C)0.125.解得P(A)0.2，P(B)0.25，P(C)0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D，则P()0.8，P()0.75，P()0.5，于是P(D)1P()1P()
19、P()P()0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，P(AB)P(A)P(B)0.40.50.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”P(Ai)0.4，P(Bi)0.5，P(Ci)0.1(i1,2)两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，P(D)P(A1C2A2C1)P(B1B2)P(A1C2)P(A2C1)P(B1B2)由事件的独立性得P(D)0.40.10.10.40.50.50.33.
