1、第六章 万有引力与航天 第4节 万有引力理论的成就学习目标重点难点1.会用万有引力定律求中心天体的质量2掌握解决天体运动问题的两条思路3了解万有引力定律在天文学上的重要应用.1.理解“称量地球质量”“计算太阳质量”的思路是本节的重点2掌握天体运动的动力学规律是本节又一重点3运用万有引力定律和圆周运动的知识分析天体运动问题是本节的难点.一、“科学真是迷人”阅读教材“科学真迷人”部分，回答下列问题1要想测量物体的质量，你能说出几种方法？提示：可直接测量，也可间接测量2利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为 m 的物体的_等于地球对物体的_，即 mg_，则 M_，由于 g、R 已经测出，因此可
2、计算出地球的质量重力 万有引力 GMmR2 gR2G 3如图所示是卡文迪许测量引力常量的示意图卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量试根据以上情景分析讨论以下问题：(1)卡文迪许测出G后，他是怎样“称量”地球的质量的呢？提示：在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即 mgGmMR2，解得地球的质量 MgR2G，只要测出 G、g、R 来，便可“称量”地球的质量(2)已知地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半径R6.4106 m，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，试估算地球的质量提示：MgR2G 9.86.4
3、10626.671011 kg6.01024 kg4思考：地面上物体的重力与地球对物体的万有引力有什么关系？如图所示，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置(1)人站在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？提示：计算地球对其表面附近物体的引力时，地球可近似看作球体，故可以为同一个人站在地球的不同位置时受到的万有引力大小一样(2)如图所示，设地球的质量为 M，半径为 R，A 处物体的质量为 m，则物体受到地球的吸引力为 F，方向指向地心 O，由万有引力公式得 FGMmR2.引力 F 可分解为 F1、F2 两个分力，其中 F1 为物体随地球自转做圆周运动的向心力 Fn，F2 就是物体
4、的重力 mg.试说出重力与万有引力的关系？提示：重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大a赤道上：重力和向心力在一条直线上 FFnmg，即GMmR2 mR2mg，所以 mgGMmR2 mR2b地球两极处：向心力为零，所以 mgFGMmR2 c其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mgGMmR2，重力的方向偏离地心重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mgGMmR2，若距离地面的高度为 h，则 mgG MmRh2(R 为地球半径，g 为离地面 h 高度处的重力加速度)所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重
5、力也越小二、计算天体的质量1刚刚我们用了如此精妙的方法，称出了地球的质量太阳的质量更大，要想测量太阳的质量，用刚才的方法可以吗？若已知某行星绕太阳运转的轨道半径r和周期T怎样测出太阳的质量？提示：不可以，因不知道太阳表面的重力加速度由 GMmr2m2T2r 得 M42r3GT2 2归纳：应用万有引力定律求解天体质量的基本思路(1)把天体的运动看作_圆周运动(2)万有引力充当_力匀速 向心 3思考：(1)教材图6.41中，测木星的质量，需要知道卫星的质量吗？(2)月球围绕地球做匀速圆周运动，能否求出月球的质量？怎样才能求出月球的质量？提示：不能可找一个围绕月球运转的卫星，测出其轨道半径和运行周期
6、即可求出月球的质量提示：不需要由 GMmr2 m42T2 r，求得 M42r3GT2，与卫星的质量 m 无关三、发现未知天体1已发现天体的轨道推算18世纪，人们观测到太阳系第七个行星天王星的轨道和用_计算出来的轨道有一些偏差2未知天体的发现根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的_，如海王星、冥王星就是这样发现的万有引力定律 轨道 探究一 不同高度处的重力加速度1在地球的表面 mgGMmR2.为什么说不考虑地球自转的影响？提示：地球上的物体是随地球的自转而做匀速圆周运动，重力并不等于万有引力物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即 mgGMmR2
7、 2在离地球表面一定高度处，万有引力与重力有何关系？提示：相等设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为()A1 B1/9C1/4D1/16解析：设地球的质量为 M，物体的质量为 m，由万有引力定律得地面上：GMmR2 mg0离地心 4R 处：G Mm4R2mg由式得 gg0R4R2 116，故选项 D 正确答案：D【题后总结】关于万有引力和重力关系的处理方法(1)物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即 mgGMmR2(2)对于地球的卫星，所受重力等于万有
8、引力，即 mgG MmRh21(多选)已知地球的质量为 M，月球的质量为 m，月球绕地球的轨道半径为 r，周期为 T，万有引力常量为 G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于()AGmr2BGMr2C42T2D42T2 r解析：由 mgGMmr2 得 gGMr2，选项 B 正确；又 m42T2 rmg 得 g42T2 r，选项 D 正确答案：BD探究二 天体质量和密度的计算1利用万有引力定律求天体质量的基本思路是什么？提示：把天体的运动看作匀速圆周运动，万有引力充当向心力2写出利用万有引力定律求天体质量的基本公式？提示：GMmr2 mv2r m2rm22T2 r假设在半径为R的某天体上发
9、射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？解析：设卫星的质量为 m，天体的质量为 M，卫星贴近天体表面运动时有 GMmR2 m42T21 R，得 M42R3GT21天体的体积 V43R3故该天体密度 MV 3GT21卫星距天体表面距离为 h 时有 G MmRh2m42T22(Rh)得 M42Rh3GT22所以 MV42Rh3GT2243R3 3Rh3GT22R3答案：3GT21 3Rh3GT22R3【题后总结】求天体的密度，关键在于求天体
10、的质量，而求天体质量时主要利用万有引力定律处理天体运动的两条思路，同时要注意对题目隐含条件的挖掘，如绕星体表面运行时有rR星以及地球的公转周期、自转周期，月球的周期等2(2016海南卷)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度D卫星的运行周期和轨道半径解析：根据线速度和角速度可以求出半径 rv，根据万有引力提供向心力则有GMmr2mv2r，整理可得 M v3G，故选项 A正确；由于卫星的质量 m 可约掉，故选项
11、 B、C 错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则 GMmr2 m2T2r，整理得 M42r3GT2，故选项 D 正确答案：AD一、天体质量和密度的计算情景及求解思路结果已知所求星体的半径 R 及其表面的重力加速度 g，则 GMmR2 mgMgR2G天体质量的计算质量为 m 的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即 GMmr2 mv2r m2rm2T2rMrv2GMr32GM42r3GT2情景及求解思路结果天体质量的计算MV M43R3 3g4GR(gR2GM)3rv24GR3 3r324GR3rR 时：324G 3r3GT2R3rR 时：3GT2二、天体运动的分析和计
12、算1解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：GMmR2 ma，式中 a 是向心加速度2常用的关系式(1)GMmr2 mv2r m2rm42T2 r，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力(2)mgGMmR2 即 gR2GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力该公式通常被称为黄金代换式3四个重要结论：设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动(1)由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，r 越大，天体的 v 越小(2)由 GMmr2 m2r 得 GMr3，r 越大，天体的 越小(3)由 GMmr2 m2T2r 得 T2r3GM，r 越大，天体的 T越大点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十)谢谢观看！