1、复习课(三)概率古典概型古典概型是命题的热点，主要考查古典概型概率的求法，常与互斥事件、对立事件结合在一起考查也有时与抽样方法交汇命题主要以选择题、填空题为主有时也出解答题，属中低档题1互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况(2)当事件A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，当事件A与B对立时，P(AB)P(A)P(B)1，即P(A)1P(B)(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；先求
2、其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P()求解2古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏典例甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率解甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C
3、表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15
4、种从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P.类题通法解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算1某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.B.C. D.解析：选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方
5、法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P.2随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：偏痩正常肥胖女生/人300865y男生/人x885z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从
6、这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y243，z243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知0.15，所以x450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为yz500(人)设应在肥胖学生中抽取m人，则.所以m10.即应在肥胖学生中抽10名(3)由题意，可知yz500，且y243，z243，满足条件的基本事件如下：(243,257)，(244,256)，(257,243)，共有15组设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即yz，满足条件的(y，z)的基本事件有：(243,257)，(244,256
7、)，(250,250)，共有8组，所以P(A).所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为.几何概型题型多为选择题和填空题，主要涉及长度型、面积型以及体积型的几何概率模型属低档题(1)几何概型满足的两个特点：等可能性；无限性(2)几何概型的概率求法公式P(A).典例(1)已知平面区域D1，D2.在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是()A. B.C. D.(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为_解析(1)因区域D1和D2的公共部分是一个半径为2的圆的，从而所求概率P，故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于木棒长度
8、的区域内，故所求概率为2.答案(1)C(2)类题通法几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题1如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是()AP1P2 BP1P2CP1P2 D无法比较解析：选A由题意知正方形的边长为2a.左图中圆
9、的半径为正方形边长的，故四个圆的面积和为a2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为a2，故P1P2.2已知区域E(x，y)|0x3,0y2，F(x，y)|0x3,0y2，xy，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为_解析：依区域E和区域F的对应图形如图所示其中区域E的面积为326，区域F的面积为(13)24，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P.答案：3在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A.B.C.D.解析：选A不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.1同时掷3枚质地均
10、匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的基本事件总数是()A15B16C17 D18解析：选B点数之和可以为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个基本事件2某娱乐栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到带苦脸的商标就不获奖参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会某观众前两次翻商标均获若干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是()A. B.C. D.解析：选B该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第
11、三次翻商标获奖的概率为P.3欧阳修在卖油翁中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止已知铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是()A. B.C. D.解析：选D本题显然是几何概型，用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，可得P(A).4掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M一次正面向上，一次反面向上，事件N至少一次正面向上则下列结果正确的是()AP(M)，P(N)BP(M)，P(N)CP(M)，P(N)DP(M)，P(N)解析：选B
12、掷一枚质地均匀的硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P(M)，P(N).5在全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A. B.C. D.解析：选A从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P.6任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|y|3中的概率为()A. B.C. D.解析：选D基本事件为6636，P(a，b)落在区域|x|y
13、|3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P.7为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚_只解析：设保护区内共有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以，解得x160 000.答案：160 0008甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b.若|ab|1，则称甲、乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_解析：当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为
14、9时，b只能取8,9两个数；当a取其他数时，b都可以取3个数，所以他们“心有灵犀”的情况共有28种，又基本事件总数为100，所以所求的概率为0.28.答案：0.289在一棱长为6 cm的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为_解析：距离顶点小于1 cm的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm的球，其体积为，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为1.答案：110一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则ab能被3整除的概率解：把一颗骰子抛掷2次，共有36个基本事件设
15、“ab能被3整除”为事件A，有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个P(A).11设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率解：设事件A为“方程x22axb20有实根”，当a0，b0时，此方程有实根的条件是ab.从两组数中各取数一个数的所有的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，
16、(3,2)，共12个(其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值)，事件A包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个故P(A).12如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；y轴上取2
17、个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共444820种(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1.(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2
18、，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2.(时间120分钟满分160分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为()A0.95B0.7C0.35 D0.05解析：选D“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以
19、“抽到一等品或二等品”的概率为0.650.30.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为10.950.05.2某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为()A1 000,0.50 B800,0.50C800,0.60 D1 000,0.60解析：选D第二小
20、组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为1 000(人)；体重正常的频率为0.400.200.60.3执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A2B4C8D16解析：选C执行程序S1，k0；S1，k1；S2，k2；S8，k3，输出S8.4现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b时，则满足a|b22a|的概率为()A. B.C. D.解析：选B试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论若a1时，b2或3；若a2时，b1；共有3种情况满足条件，概率为P.5为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单
21、位的广播操比赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是()评委给高三(1)班打出的分数A.2 B3C4 D5解析：选A由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即91.635x917637，x2.6为了在运行下面的程序之后输出16，键盘输入的x应该是()A3或3 B5C5或3 D5或5解析：选D该程序先对x进行判断，当x0时，执行y(x1)(x1)计算语句，要使输出值为16，则输入的x为5.7点P在边长
22、为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为()A. B.C. D解析：选C如图所示，动点P在阴影部分满足|PA|1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S，又正方形的面积是S1，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为.8.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是()As1s2Bs1s2Cs1s2 D不确定解析：选C由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.则甲84，乙84，则s1，同理s2，故s1s2，所以选C.9在一个
23、袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A. B.C. D.解析：选A随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为，共3种，故所求概率为.10用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1160编号，按编号顺序平均分成20组(18,916，153160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是()A8 B6C4 D2解析：选B8，抽样间隔为8，第1组中号码为1261586.11对一位运动员的心脏跳
24、动检测了8次，得到如下表所示的数据：检测次数12345678检测数据ai(次/分钟)3940424243454647对上述数据的统计分析中，一部分计算见如下图所示的程序框图(其中是这8个数据的平均数)，该程序框图输出的值是()A6 B7C8 D56解析：选B该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数43，故其方差为(3943)2(4043)2(4243)2(4243)2(4343)2(4543)2(4643)2(4743)27，所以输出的s的值为7.故选B.12某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间(分钟)0,20)2
25、0,40)40,60)60,80)80,100人数25501555公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y20040，其中表示不超过的最大整数以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为()A0.5 B0.7C0.8 D0.9解析：选D由题意知y300，即20040300，即2.5，解得0tb的概率解：(1)由程序框图可知A6,8,10,12,14，B5,7,9,11,13(2)基本事件的总数为5525，设“两数满足ab”为事件E，当a6时，b5；当a8时，b5,7；当a10时，b5,7,9；当a12时，b5,7,
26、9,11；当a14时，b5,7,9,11,13，事件E包含的基本事件数为15，故P(E).20(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率解：(1)甲班的平均身高为(158162163168168170171179179182)170，甲班的样本方差为s2(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168170)2(170170)2(171170)2(1791
27、70)2(179170)2(182170)257.2.(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P(A).21(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加
28、工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？注：，.解：(1)散点图如图所示(2)由表中数据得：iyi52.5，3.5，3.5，54.0.7，3.50.73.51.05，0.7x1.05.(3)将x10代入回归直线方程，得0.7101.058.05(小时)预测加工10个零件需要8.05小时22(本小题满分12分)(全国卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对
29、产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)在图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由解：(1)如图所示通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大