1、一轮大题专练17导数（最值问题）1已知函数（1）求曲线上一点处的切线方程；（2）当时，在区间，的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值解：（1）因为点在曲线上，所以，解得，所以，求导得，切点为，故切线斜率，所求切线方程为（2）因为，所以令，得或所以，为减函数；，为增函数当时，在，上单调递减所以依题意，所以当时，在，上单调递减，在，上单调递增，又因为，当时，所以，当时，所以，设，所以，当时，所以在单调递减又因为，所以所以，当且仅当时，取得最小值2已知函数，（1）证明：有且仅有一个零点；（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由（1）证明：因为
2、，所以时，函数无零点；又因为，所以，时，单调递增，又（1），即（1），故存在唯一，使，综上可知，函数有且仅有一个零点（2）解：，单调递增，又（1），故存在唯一，使，即，单调递减；，单调递增，因此有最小值，（a），令，故单调递减，进而，（1），即（a）的值域为，3已知函数，（1）设，求的极值：（2）若函数有两个极值点，求的最小值解：（1），定义域是，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，故，（1）；（2）函数，是函数的极值点，是方程的两不等正根，则，故，即，且，令，则，当，上递减，当上递增，故（1），故的最小值为4已知函数，（1）讨论的单调性；（2）当时，函数的最小值为（其中为的
3、导函数），求的值解：（1），当时，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，由，得，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，当时，由，得，在上单调递增，当时，由，得，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增，综上：当时，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增（2）设，且，设，在上单调递减，在上单调递增，且当时，又当时，当时，在上必存在唯一零点，使得，即在上，单调递减，在，上，单调递增，在处取得最小值，又，则，设，当时，单调递增，故，此时，当时
4、，单调递减，故，又（1），故，故5已知函数，（1）求的单调性；（2）若，且的最小值小于，求的取值范围解：（1），当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增，（2）由（1）知，则，令，则，令，在上单调递减，又，（1），存在，使得，即，在上单调递增，在，上单调递减，又，（2），（a）的取值范围为6已知函数，（）设，若函数在区间，上是减函数，求实数的取值范围；（）若函数区间上的最小值为1，求实数的值解：（），在，上单调递减，当，时，恒成立，即，又，又，时，取最小值，故的取值范围是，；（），在递增，在递增，在上存在唯一零点，使得，故，在上单调递增，时，递减，时，递增，显然是方程的解，令是减函数，则，有且只有唯一的解，又，7设函数（1）若，求的极值；（2）若，且当时，函数的图象在直线的上方，求整数的最大值解：（1），则，若，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故的极小值是，无极大值；（2）时，故，时函数的图象在直线的上方，问题转化为在恒成立，令，即时，在单调递增，故，符合题意；即时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，由，令，则，则，令，则，故在递减，而（1），（2），故整数的最大值是1，故的最大值是1，即整数的最大值是2
