1、一、基础达标1.已知x，y0，且xy1，则的最小值为()A.4 B.2 C.1 D.解析224，当且仅当xy1时等号成立.答案A2.函数y2的最大值是()A.3 B. C. D.4解析y222()263，当且仅当2，即x时等号成立.故y的最大值为.答案C3.已知2x2y21，则2xy的最大值是()A. B.2 C. D.3解析2xyx1y，当且仅当yx，即xy时等号成立，故2xy取到最大值.答案C4.已知2，x，y0，则xy的最小值是()A. B. C. D.5解析由2，可得xy(23)2.当且仅当，即x5，y时等号成立.答案A5.设a(2，1，2)，|b|6，则ab的最小值为_，此时b_.解
2、析根据柯西不等式的向量形式，有|ab|a|b|，|ab|618，当且仅当存在实数k，使akb时，等号成立.18ab18.ab的最小值为18，此时b2a(4，2，4).答案18(4，2，4)6.设实数x，y满足3x22y26，则2xy的最大值为_.解析由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611.当且仅当3x4y，即x，y时等号成立.因此2xy的最大值为.答案7.若2x3y1，求x2y2的最小值及最小值点.解由柯西不等式(x2y2)(2232)(2x3y)2得13(x2y2)1，所以x2y2，当且仅当3x2y时成立.解得最小值及最小值点为.二、能力提升8.已知a，b0，且ab
3、1，则()2的最大值是()A.2 B. C.6 D.12解析()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立.答案D9.若ab1，则的最小值为()A.1 B.2 C. D.解析a22b22.ab1，a2b2(a2b2)(11)(ab)2，又8，以上两个不等式都是当且仅当ab时，等号成立.228，当且仅当ab时等号成立，取到最小值.答案C10.函数y34的最大值为_.解析y2(34)2(3242)()2()225(x56x)25，当且仅当34，即x时等号成立.函数y的最大值为5.答案511.设a，bR，且a2b210，求3ab的最大值与最小值
4、.解利用柯西不等式得(3ab)2(a3b1)2(a2b2)(3212)1010100，即(3ab)2100，|3ab|10，103ab10，当且仅当a3b时等号成立.又a2b210，a29，b21.当a3，b1时，3ab有最小值10；当a3，b1时，3ab有最大值10，12.已知为锐角，a，b0，求证：(ab)2.证明设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n|，当且仅当akcos2，bksin2，kR时等号成立.故(ab)2.三、探究与创新13.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.解如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是长方形ABCD的周长l2(x)2(1x1).由柯西不等式得l2x2()2(1212)，22R4R.当且仅当，即xR时等号成立.此时，R.即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.
