1、一平面直角坐标系课堂导学三点剖析一、建立平面直角坐标系解决问题 我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具,讨论轨迹非常方便.请看例1.【例1】 两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹.解：如图. 以AB所在直线为x轴,以AB中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),设动点P(x,y),由已知得|PA|2+|PB|2=26,即x2+y2=4. 这即是点M的轨迹方程,是以AB的中点为圆心,2为半径的圆.温馨提示 由此可见,建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了.各个击破类题演练 1 已知A为定点,线段BC在定直线l上滑动,|BC|=4
2、,点A到l的距离为3.求ABC外心的轨迹方程.解:以l为x轴,过A与l垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A为(0,3),设ABC的外心为P(x,y).因为P是BC的中垂线上的点,故B,C坐标分别为(x-2,0),(x+2,0).因P在线段AB的中垂线上,故|PA|=|PB|,即,即x2-6y+5=0.变式提升 1 证明三角形的三条高线交于一点.证明:如图,ABC,则AD,BE,CO分别是ABC的三条高,取边AB所在的直线为x轴,CO所在的直线为y轴,建立坐标系. 设BE交AD于点H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c),则=(x-b,y),=(x+a,y),=(-b,c)
3、, =(a,c).=0,即a(x-b)+cy=0,=0,故(-b)(x+a)+cy=0,-得(a+b)x=0.a+b0,x=0.H在AB的高线上,即ABC三条高线交于一点.二、坐标变换问题【例2】 在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.y2=2x;y=3sin2x.解:由伸缩变换得y.(*)将(*)代入y2=2x,得(y)2=2(2x).y2=64x. 经过伸缩变换后抛物线y2=2x变成了抛物线y2=64x.将(*)代入y=3sin2x,得y=3sin2(2x),y=12sin4x. 经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x变成了曲线y=12sin4x.类题演练 2将
4、曲线C按伸缩变换公式变换后的曲线方程为x2+y2=1,则曲线C的方程为( )A.=1 B.=1C.4x2+9y2=36 D.4x2+9y2=1解析:将代入方程x2+y2=1,得4x2+9y2=1.故选D.答案:D变式提升 2已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosx(0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的,则为( )A. B.2 C.3 D.解析:f1(x)=cosxf2(x)=cos3x.=3,选C.答案:C三、利用直角坐标系解决应用题【例3】 某河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4
5、m,高2 m,载货后木船露在水面上的部分高为 m,问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?解：以水平面与拱的截面的交线为x轴,以该交线的中点为原点建立平面直角坐标系,如图.由题意,点A(-4,0),B(4,0),C(0,5).则可设抛物线为y=ax2+c.把A,C代入得16a+c=0且c=5.a=.y=x2+5.当船沿拱的中心方向通过时,D为(-2,0),代入得y=4+5=,即拱到水平面的高为 m.又船高2 m,水面上涨的余地为-2=,若保证船通过,则水平面涨到与拱顶相距 m时,船开始不能通航,其中=5-.类题演练 3某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300
6、天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102千克,时间单位：天）解:(1)由题图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由题图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t-150)2+100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=,当0t200时,配方整理得h(t)=(t-50)2+100, 所以当t=50时,h(t)取得区间0,200上的最大值100;当20087.5可知,h(t)在区间0,300上可以取得最大值100,此时t=50,即从2月1日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.