1、第二章 推理与证明章末综合检测(二)第二章 推理与证明一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A BCD解析：选 D由推理的定义可知，归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理 第二章 推理与证明2用反证法证明命题：“若 a，bN，ab 能被 3 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 3 整除”时，假设应为()Aa，b 都能
2、被 3 整除Ba，b 都不能被 3 整除Ca，b 不都能被 3 整除Da 不能被 3 整除解析：选 B反证法证明命题时，应假设命题的反面成立“a，b 中至少有一个能被 3 整除”的反面是：“a，b 都不能被 3 整除”，故应假设 a，b 都不能被 3 整除第二章 推理与证明3把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是()A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行第二章 推理与证明解析：选 D类比 A 的结论为：如
3、果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立 类比 B 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立 类比 C 的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立 类比 D 的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立第二章 推理与证明4若 a0，b0，则有()Ab2a 2baBb2a 0，所以 ex1，01ex0，即 f(x)0.所以 f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()A综合法B分析法C反证法D以上都不是解析：选 A这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选 A第二章 推理与
4、证明6下面是一段“三段论”推理过程：若函数 f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0 恒成立因为 f(x)x3 在(1，1)内可导且单调递增，所以在(1，1)内，f(x)3x20恒成立以上推理中()A大前提错误B小前提错误C结论正确D推理形式错误解析：选 Af(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立，故大前提错误，故选 A 第二章 推理与证明7分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且abc0，求证b2ac0 Bac0 D(ab)(ac)0解析：选 C要证明b2ac 3a，只需证 b2ac3a2，只需证(ac)2ac3a2，只
5、需证2a2acc20，即证(ac)(2ac)0，即证(ac)(ab)0.第二章 推理与证明8若sin Aacos Bbcos Cc，则ABC 是()A等边三角形B有一个内角是 30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角是 30的等腰三角形第二章 推理与证明解析：选 C因为sin Aacos Bbcos Cc，由正弦定理得，sin Aasin Bbsin Cc，所以sin Bbcos Bbcos Ccsin Cc.所以 sin Bcos B，sin Ccos C，所以BC45，所以ABC 是等腰直角三角形第二章 推理与证明9观察数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，则第100
6、项为()A10 B14C13 D100解析：选 B设 nN，则数字 n 共有 n 个，所以n(n1)2100，即 n(n1)200.又因为 nN，所以 n13，到第 13 个 13 时 共有1314291 项，从第 92 项开始为 14，故第 100 项为 14.第二章 推理与证明10已知 abc0，则 abbcca 的值()A大于 0 B小于 0C不小于 0 D不大于 0解析：选 D因为(abc)2a2b2c22(abbcac)0，又因为 a2b2c20，所以 2(abbcac)0.故选 D 第二章 推理与证明11如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n
7、 行有 n 个数且两端的数均为1n(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111212，121316，1314 112，则第 7 行第 4 个数(从左往右数)为()第二章 推理与证明1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15A 1140B 1105C 160D 142第二章 推理与证明解析：选 A由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为1n”可知，第7 行第 1 个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第 7 行第 2 个数为1617 142.同理易知，第 7 行第 3 个数为 130 142 1105，第 7 行第 4 个
8、数为 160 1105 1140.故选 A第二章 推理与证明12已知点 A(x1，x21)，B(x2，x22)是函数 yx2 图象上任意不同的两点，依据图象知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x21x222x1x222成立，运用类比方法可知，若点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数 ysin x(x(0，)图象上不同的两点，则类似地有结论()Asin x1sin x22sin x1x22Bsin x1sin x22sin x1x22Csin x1sin x22sin x1x22Dsin x1sin x22sin x1x22第二章 推理与证明
9、解析：选 B画出 yx2 的图象，由已知得 AB 的中点x1x22，x21x222恒在点x1x22，x1x222 的上方，画出 ysin x，x(0，)的图象可得 A，B 的中点x1x22，sin x1sin x22恒在点x1x22，sin x1x22的下方，故 B 正确第二章 推理与证明二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13设正实数 a、b、c 满足 abc1，则 a、b、c 中至少有一个数不小于_解析：假设 a、b、c 都小于13，则 abcf(n)，则 m，n 的大小关系为_解析：因为当 0af(n)得 mn.答案：mn第二章 推理与证明15有三张卡片，分别写有 1 和 2，1
10、 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_第二章 推理与证明解析：为方便说明，不妨将分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3 的卡片记为 A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片 A 或 B，无论是哪一张，均含有数字 1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知，乙所拿的卡片必然是 C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，知甲所拿的卡片为 B，此时丙所拿的卡片为 A.答
11、案：1 和 3第二章 推理与证明16.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2，过点 A作 BC 的垂线，垂足为 A1，过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3；，以此类推，设 BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则 a7_第二章 推理与证明解析：根据题意易得 a12，a2 2，a31，所以an构成以 a12，q 22 的等比数列，所以 a7a1q6222614.答案：14第二章 推理与证明三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)观察图，可以发现：13422，135932，13571
12、642135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？第二章 推理与证明解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有 前 2 个奇数的和等于 2 的平方；前 3 个奇数的和等于 3 的平方；前 4 个奇数的和等于 4 的平方；前 5 个奇数的和等于 5 的平方；由此猜想：前 n(nN)个奇数的和等于 n 的平方，即 13(2n1)n2.第二章 推理与证明18(本小题满分 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2Sn(nN)(1)求 a1，a2，a3，a4 的值并猜想数列an的通项公式；(2)根据(1)猜想出的通项公式，用三段论证明数列an是等比数列第二章 推理与证明解：(1
13、)由 an2Sn，得 a11，a212，a314，a418.猜想 an(12)n1(nN)(2)对于数列an，若an1an p，p 是非零常数，则an是等比数列大前提 因为 an(12)n1，nN，且an1an 12，小前提 所以通项公式为 an(12)n1 的数列an是等比数列结论第二章 推理与证明19(本小题满分 12 分)已知：sin230sin290sin215032；sin25sin265sin212532，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度 都成立的一般性的命题，并给予证明第二章 推理与证明解：一般形式为 sin2sin2(60)sin2(120)32.证明：左边1cos
14、 221cos(2120)21cos(2240)2 3212cos 2cos(2120)cos(2240)3212(cos 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2 sin 240)3212cos 212cos 2 32 sin 212cos 232 sin 2 32右边将一般形式写成sin2(60)sin2sin2(60)32，sin2(240)sin2(120)sin232等均正确第二章 推理与证明20.(本小题满分 12 分)已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是矩形，且 AD2，AB1，PA平面 ABCD，E，F 分别是线段 AB，
15、BC 的中点(1)证明：PFFD.(2)判断并说明 PA 上是否存在点 G，使得 EG平面 PFD.第二章 推理与证明解：(1)证明：连接 AF，则 AF 2，DF 2，又 AD2，所以 DF2AF2AD2，所以 DFAF，又 PA平面 ABCD，所以 DFPA，又 PAAFA，所以DF平面PAFPF平面PAF DFPF.第二章 推理与证明(2)过点 E 作 EHFD，交 AD 于点 H，则 EH平面 PFD，且有 AH14AD，再过点 H 作 HGDP 交 PA 于点 G，则 HG平面 PFD 且 AG14AP.所以平面 EHG平面 PFD，所以 EG平面 PFD.从而线段 AP 上满足 A
16、G14AP 的点 G 即为所求第二章 推理与证明21(本小题满分 12 分)已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角 B 不可能是钝角第二章 推理与证明解：(1)bacb.证明如下：要证bacb，只需证ba0，所以只需证 b2ac.因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b1a1c21ac，所以 b2ac.又 a，b，c 均不相等，所以 b2acb22ac 0，所以角 B 不可能是钝角 法二：假设角 B 是钝角，则角 B 的对边为最大边，即 ba，bc，所以1a1b0，1c1b0，则1a1c1b1b2b，这与1a1c2b矛盾，故假设不成立 所以角 B 不可能是钝角第二章 推理与证明22(本小题满分 12 分)设函数 f(x)x3 11x，x0，1证明：(1)f(x)1xx2；(2)3434，所以 f(x)34.综上，34f(x)32.第二章 推理与证明本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放