1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修5第一章 数 列成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5数 列 第一章 第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5本章归纳总结第一章 第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5专 题 研 究 3知 识 结 构 1知 识 整 合 2第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5知 识 结 构第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修
2、5知 识 整 合第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5一、数列的概念与函数特征1数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列还可以看作一个定义域为N(或它的有限子集1,2，n)的函数的一列函数值2通项公式：如果数列an的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式3an 与 Sn 之间的关系：如果 Sn 是数列an的前 n 项和，则 Sna1a2an.数 列 an 的 前 n 项 和 Sn 与 an 之 间 的 关 系 是 an S1，n1SnSn1，n2.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数
3、学 必修54数列的分类(1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列(2)按照项与项之间的大小关系，可以分为以下几类：一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫作递增数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an10an为递增数列；nN，an1an0an为常数列；nN，an1an0(1(0(0(0)，an1an 1)an为递减数列第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5二、等差数列1定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数
4、，则这个数列就叫等差数列，其中的常数叫等差数列的公差，它常用字母 d 表示即定义的表达式为 an1and(nN)或 anan1d(n2，nN)2通项公式：若数列an为等差数列，则 ana1(n1)d.3前 n 项和公式：若数列an为等差数列，则前 n 项和 Snna1an2na1nn12d.4等差中项：若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a与 b 的等差中项，并且 Aab2.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修55等差数列的性质：(1)已知等差数列an的公差为d，且第m项为am，第n项为an，则anam(nm)d；(2)在等差数列an中，若mnp
5、q，(m、n、p、qN)则amanapaq；(3)若数列an满足Snan2bn，则an为等差数列，且a1ab，d2a；(4)若数列an满足Snan2bnc(c0)，则an从第2项起成等差数列；第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(5)等差数列和的最大值、最小值1 在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 有最大值；若a10，则 Sn 有最小值2 求 Sn 的最值的方法：因为 Snd2n2a1d2 n，所以可转化为二次函数求最值，但应注意 nN；若an0，an10，则 Sn 最小第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5三、等
6、比数列1定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，用字母 q 表示2等比中项：若三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做a 与 b 的等比中项，且 G ab.3通项公式：等比数列an的通项公式 ana1qn1.4前 n 项和公式：若等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q，当 q1 时，Snna1；当 q1 时 Sna11qn1qa1anq1q.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修55等比数列的重要性质：(1)在等比数列an中，若 klmn，(k、l、m、nN)则 akalam
7、an.(2)数列an为等比数列，则 ana1qn1a1q qn.q1，a10 或 0q1，a11，a10 或 0q0 时，an是递减数列；q1 时，an是常数列；q0,104d0.解得103 d52.因此 d3.数列an的通项公式为 an133n.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)bn1133n103n13(1103n1133n)于是 Tnb1b2bn13(17 110)(1417)(1103n1133n)13(1103n 110)n10103n.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修53错位相减法若数列an为等差
8、数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比q，并项后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法例7(2015山东高考)设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析(1)因为 2Sn3n3，所以当 n1 时 2a133，故 a13，当 n2 时，2Sn13n13，此时 2an2Sn2Sn
9、13n3n123n1，即 an3n1，所以 an3，n1.，3n1，n2.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)因为 anbnlog3an，所以 b113，当 n2 时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以 T1b113；当 n2 时，Tnb1b2b3bn13(131232(n1)31n)，所以 3Tn1130231(n1)32n第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5两式相减，得2Tn23(30313232n)(n1)31n23131n131(n1)31n136 6n323n.所以 Tn13126n343n经
10、检验，n1 时也适合综上可得 Tn13126n343n.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5已知数列an中，a13，点(an，an1)在直线yx2上(1)求数列an有通项公式；(2)若bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)点(an，an1)在直线yx2上，an1an2，即an1an2.数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，an32(n1)2n1.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5(2)bnan3n，bn(2n1)3n.Tn33532733(2n1)3n 1(2n1)3n，3Tn332533(2n1)3
11、n(2n1)3n1.得2Tn332(32333n)(2n1)3n192913n113(2n1)3n12n3n1Tnn3n1.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修54倒序相加法如果一个数列an与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5例 8 已知函数 f(x)14xm(m0)，当 x1、x2R，且 x1x21 时，总有 f(x1)f(x2)12.(1)求 m 的值(2)设 Snf(0n)f(1n)
12、f(2n)f(nn)，求 Sn.分析 求 m 的值可用特殊值法；求 Sn，根据其特点和已知条件可以考虑用倒序相加法第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析(1)取 x1x212，则 f(12)12m14，所以 m2.(2)因为当 x1、x2R，且 x1x21 时，总有 f(x1)f(x2)12，所以 f(0n)f(nn)12，f(1n)f(n1n)12，.因为 Snf(0n)f(1n)f(2n)f(nn)，故 Snf(nn)f(n1n)f(n2n)f(0n)第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5两式相加得：2Snf(0n
13、)f(nn)f(1n)f(n1n)f(nn)f(0n)n12，所以 Snn14.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5方法总结 解此题关键是对“当 x1、x2R，且 x1x21时，总有 f(x1)f(x2)12”这一条件的应用，可推广为只要两个自变量是实数且之和为 1，它们函数值的和就为12，而 f(0n)f(nn)，f(1n)f(n1n)，f(nn)f(0n)正好能用到上面的结论，从而想到用倒序相加法第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5设 f(x)12x 2，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_答案 3 2第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修5解析 f(x)f(1x)12x 2121x 212x 22x2 22x22x22x 2 22.令 Sf(6)f(5)f(4)f(5)，则 2Sf(5)f(6)f(4)f(5)f(6)f(5)2S12 22，即 S3 2.