1、第十章圆锥曲线与方程第1讲椭圆及其性质考纲展示命题探究1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形如图所示，设F1PF2.(1)当P为短轴端点时，最大(2)SPF1F2|PF1|PF2|sinb2b2tanc|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.(3)焦
2、点三角形的周长为2(ac)3椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为1(ab0)(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1(ab0)4特殊的椭圆系方程(1)与椭圆1共焦点的椭圆可设为1(km2，kn2)(2)与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆可设为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)注意点对椭圆定义的理解当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(4)1(a
3、b0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)2已知方程1表示椭圆，则m的取值范围为()A(3,5) B(3,1)C(1,5) D(3,1)(1,5)答案D解析方程表示椭圆的条件为解得m(3,1)(1,5)故选D.3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.答案B解析由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)考法综述高考对椭圆的标准方程考查形式有两种：一种是求椭圆的方程；一种是通过方程研究椭圆的性质命题法椭圆的定义和标准方程典例(1)已知椭圆E：
4、1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简变形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故选D.(2)如图所示，设椭圆右焦点为F，直线xm与x轴相交于点C.由椭圆的定义，得|AF|AF|BF|BF|2a4.而|AB|AC|BC|AF|BF|，所以当且仅当AB过点F时，ABF的周长最大此时，由
5、c1，得A，B，即|AB|3.所以SABF|AB|FF|3.答案(1)D(2)3【解题法】1.椭圆定义的应用的类型及方法(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，再结合|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积2椭圆方程的求法(1)定义法根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程其中常用的关系有：b2a2c2.椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a.椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.(2)待定系
6、数法一般步骤判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组解：求解得到方程1.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析1(ab0)的离心率为，.又过F2的直线l交椭圆于A，B两点，AF1B的周长为4，4a4，a.b，椭圆方程为1，选A.2设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线F
7、M被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x
8、1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26.又由已知，得t ，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，则m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理可得m2.当x时，有yt(x1)0，于是m，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0，因此mb0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值解(1)由题意知2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1，
9、所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160.由0，可得m2416k2.则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2 .设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0b0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的
10、直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB方程为yx1或yx1.
11、1椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c22点P(x0，y0)和椭圆1的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内1.注意点椭圆上的点到焦点的距离的范围F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则ac|PF1|ac，ac|PF2|ac.1思维辨析(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成P
12、F1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)2已知椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D以上均不对答案C解析由，得2mb0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.(2)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析(1)设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，
13、则OM为PF1F2的中位线，所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.由于PF1F230，所以|PF1|2|PF2|，由勾股定理得|F1F2|PF2|，由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|a，2c|F1F2|PF2|c，所以椭圆的离心率为e.故选D.(2)|AF1|ac，|BF1|ac，|F1F2|2c，则有4c2(ac)(ac)，得e.答案(1)D(2)【解题法】与椭圆的离心率有关问题的解题策略(1)求椭圆的离心率求出a，c，直接求出e：已知椭圆的标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式e求解变用公式，整体求出e：利用e，e，只需明确或，便可求解e.构造a，c的齐次式，解出e：根
14、据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式，通过两边除以a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值(2)求椭圆离心率范围求解离心率的范围关键在于找到含有a与c的不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围常见的途径归纳如下：椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆1(ab0)上一点，则|x0|a，ac|PF1|ac等涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于0.题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式1一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案2y2解析由题意知，圆过椭圆的三个顶点
15、(4,0)，(0,2)，(0，2)，设圆心为(a,0)，其中a0，由4a，解得a，所以该圆的标准方程为2y2.2.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.、两式相减并整理得.把已知条件代入上式得，故椭圆的离心率e.3已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.答案解析如图，设右焦点为F1，|BF|x，则cosABF.解得x8，故AFB90.由椭圆及直线关于原点对称
16、可知|AF1|8，且FAF190，FAF1是直角三角形，|F1F2|10，故2a8614,2c10，e.4设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又
17、点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.5如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2| 2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)解法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2|得x
18、00，从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e .解法二：连接QF1，如上图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|.|PF1|2(2)a，从而|PF2
19、|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e .6.已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程
20、为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2,1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2, x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1
21、，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.7设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切求直线l的斜率解(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则.所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x
22、0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上，故1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4.所以，直线l的斜率为4或4.8已知椭圆C的中心在原点，离心率e，右焦点为F(，0)(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量与共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由解(1)设
23、椭圆C的方程为1(ab0)，又离心率e，右焦点为F(，0)，c，a2，b21，故椭圆C的方程为y21.(2)假设椭圆C上存在点P(x0，y0)，使得向量与共线(x0，y01)，(，1)，x0(y01)又点P(x0，y0)在椭圆y21上，y1.由解得或P(0，1)或P.当点P的坐标为(0，1)时，直线AP的方程为x0，当点P的坐标为P时，直线AP的方程为x4y40，故存在满足题意的点P，直线AP的方程为x0或x4y40.9在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)的离心率e，且椭圆C上一点N到Q(0,3)距离的最大值为4，过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A、B.(1)求椭圆C的方程；(
24、2)设P为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|AB|0，解得k2.由题意得(x1x2，y1y2)t(x，y)，则x(x1x2)，y(y1y2)k(x1x2)6k.由点P在椭圆上，得4，化简得36k2t2(14k2)由|AB|x1x2|，得(1k2)(x1x2)24x1x23，将x1x2，x1x2代入得(1k2)0，则8k210，即k2，k2.由得t29，由得3t24，2t或t2.故实数t的取值范围为2t或tb2 B.C0ab D0b0，所以0ab.22016武邑中学预测设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B
25、3C2 D1答案D解析()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，SF1PF2mn1，故选D.32016衡水二中模拟已知点P是椭圆1(x0，y0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的平分线上一点，且0，则|的取值范围是()A0,3) B(0,2)C2，3) D(0,4答案B解析延长F1M交PF2或其延长线于点G.0，又MP为F1PF2的平分线，|PF1|PG|且M为F1G的中点，O为F1F2的中点，OM綊F2G.|F2G|PG|PF2|PF1|PF2|，|2a2|PF2|4|PF2|.42|P
26、F2|4或4|PF2|2Ctb0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且，则该椭圆离心率的取值范围为()A. B.C. D.答案A解析由题知AFBF，根据椭圆的对称性，AFBF(其中F是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF是矩形，于是|AB|FF|2c，|AF|2csin，根据椭圆的定义，|AF|AF|2a，2csin2ccos2a，e，而，sin，故e，故选A.8. 2016武邑中学仿真已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆离心率的取值范围为()A(0，1) B.C. D(1,1)答案D解析根据正弦定理得
27、，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|，又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，则|PF2|，因为ac|PF2|ac(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以acac，即11，所以1e1e，即解得1e0)，它到已知直线的距离为3，解得c，所以a2b2c23，故椭圆的方程为y21.102016冀州中学期中如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点则的最大值为_答案4解析设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.2x02，y0.F(1,0)，A(2,0)，(1
28、x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.即当x02时，取得最大值4.112016衡水中学仿真已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|2，点在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解(1)由题意知c1,2a4，a2，故椭圆C的方程为1.(2)当直线lx轴时，可取A，B，AF2B的面积为3，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程得(34k2)x28k2x4k2120，显然0成立，设A(x1，y1)
29、，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，可得|AB|，又圆F2的半径r，AF2B的面积为|AB|r，化简得：17k4k2180，得k1，r，圆的方程为(x1)2y22.122016枣强中学预测如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以|BF2|a.又|BF2|，故a.因为点C在椭圆上，所以1
30、.解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得或所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e.能力组13. 2016冀州中学一轮检测过椭圆1(ab0)左焦点F，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量a(3，1)共线，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案B解析设椭圆的左焦点为F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，直线AB的方程
31、为yxc，代入椭圆方程并整理得(a2b2)x22a2cxa2c2a2b20.由韦达定理得x1x2，所以y1y2x1x22c.根据与a(3，1)共线，得x1x23(y1y2)0，即30，解得，所以e ，故选B.142016武邑中学一轮检测已知点A，D分别是椭圆1(ab0)的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且的最大值是1，最小值是，则椭圆的标准方程为_答案y21解析设点P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(cx，y)，(cx，y)，所以x2y2c2.因为点P在线段AD上，所以x2y2可以看作原点O至点P的距离的平方，易知当点P与点A重合时
32、，x2y2取最大值a2，当OPAD时，x2y2取最小值.由题意，得，解得a24，b21.即椭圆的标准方程为y21.152016武邑中学月考已知圆O：x2y24，点A(，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程解(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则|OM|MN|ON|2，取A关于y轴的对称点A，连接AB，故|AB|AB|2(|OM|MN|)4.所以点B的轨迹是以A，A为焦点，4为长轴长的椭圆其中，a2，c，b1，则曲线的方程为y21.(2)因为B为CD的中点，所以OBCD，则.
33、设B(x0，y0)，则x0(x0)y0.又y1，解得x0，y0则kOB，所以kAB，则直线AB的方程为xy0或xy0.16. 2016衡水中学热身已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P(，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解(1)点P(，1)在椭圆上，1.又0，M在y轴上，M为PF2的中点，c0，c.a2b22，联立，解得b22(b21舍去)，a24.故所求椭圆C的方程为1.(2)点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，解得3x14y15x0.点N(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，105x010，即3x14y1的取值范围为10,10