1、2.5直线与圆锥曲线1通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系(重点)2会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题(重点、难点)基础初探教材整理直线与圆锥曲线的位置关系阅读教材P67P69“例4”，完成下列问题1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：没有公共点，有且只有一个公共点及有两个不同的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0.由消元，如消去y后得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与
2、双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.()0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；()0时，直线和圆锥曲线相切于一点；()0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点【解析】由得y2yk0，因为10，所以直线与抛物线有两个公共点【答案】B3抛物线y28x，直线AB的斜率为2，且过抛物线的焦点，则AB_. 【导学号：15460051】【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，直线AB的方程为y2(x2)由得x26x40.x1x26，x1x24.ABx1x
3、2410.【答案】10质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型直线与圆锥曲线位置关系的判断对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系【精彩点拨】联立两个方程消去y得到关于x的二次方程求讨论得结论【自主解答】联立方程组将代入得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当0，即m时，方程有两个不同的实数根，代入可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当0，即m时，方程有两个相等的实数根，代入得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当0，即m或m时，方程无
4、实根，此时直线与椭圆相离1求直线与圆锥曲线的位置关系，或求直线与圆锥曲线的交点个数问题，其基本方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程，消元化成一元二次(或一次)方程，通过二次(或一次)方程解的个数来判定在解答过程中要注意两点：一是二次项系数是否为0，只有二次方程才能用判别式二是对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合2利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直线与双曲线、抛物线的位置关系，可能是相交或相切再练一题1已知抛物线的方程为y22x，直线l的方程为ykx1(kR)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【解】联立直线l与
5、抛物线方程得方程组可得k2x2(2k2)x10.(1)当k0时，由方程得x，代入ykx1得y1.这时直线l与抛物线只有一个公共点.(2)当k0时，方程的判别式为4(12k)当0，即k时，方程有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点当0，且k0，即k且k0时，方程有两个解，从而直线l与抛物线有两个公共点当时，方程没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点综上可得：当k0或k时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点.弦长问题已知动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M，N两点，当M
6、N时，求直线l的方程【精彩点拨】(1)采用什么方法求动点P的轨迹；(2)求弦长MN时需要具体求出M、N的坐标吗，如何表示出弦长MN.【自主解答】(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPAkPB.，化简整理得y21.故P点的轨迹方程C是y21(x)(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.x1x2，x1x20.MN，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，经检验符合题意直线l的方程是yx1，即xy10或xy10.求弦长的两种方法1求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长2联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的
7、一元二次方程，利用弦长公式：P1P2，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长再练一题2斜率为2的直线l在双曲线1上截得的弦长为，求l的方程【解】设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)AB2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25.AB，m26(m22)6，m215，m.由(*)式得24m2240，把m代入上式，得0，m的值为，所求l的方程为y2x.探究
8、共研型中点弦问题探究1直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？【提示】处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系解决探究2怎样处理与弦的中点有关的问题？【提示】在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点差法”，即若椭圆方程为1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则得a2(yy)b2(xx)0，.这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题能得以解决过椭圆1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程【精彩点拨】可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解，也可以考虑利用点差法
9、求解【自主解答】法一设所求直线方程为y1k(x2)代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1x2.又M为AB的中点，2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.法二设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)又M(2,1)为AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x2y4
10、0.本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k；法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”再练一题3顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得弦长AB3，求抛物线的方程【解】设抛物线y2ax(a0)，将y2x4代入得4x2(a16)x160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x1，x2为方程4x2(a16)x160的两个根，则有x1x2，x1x24，|x1x2|.AB|x1x2|.又AB3，a4或a36.所求抛物线的标准方程为
11、y24x或y236x.构建体系1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1)BC. D【解析】依题意得，cb，即c2b2，c2a2c2,2c2a2，故离心率e，又0e1，0.【答案】C2若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A. BC D【解析】把ykx2代入1，得(3k22)x212kx60，因为直线与椭圆相切，(12k)24(3k22)60，解得k.【答案】C3若直线ykx1与双曲线x2y21有且只有一个公共点，则k的值为_. 【导学号：15460052】【解析】由得(1k2)x22kx20.当1k20时，即k1时，方程变为2x
12、20，x1，此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点当1k20时，由4k28(1k2)0，解得k，此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点综上所述k1或.【答案】1或4已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长AB3，则m的值为_【解析】由得4x24(m1)xm20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x21m，x1x2，AB.由AB3，即3，解得m4.【答案】45焦点分别为(0,5)和(0，5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程【解】设1(ab0)依题意，有a2b2(5)250.由消去y并整理，得(a29b2)x212b2x4b2a2b
13、20.因为，所以.所以a23b2.由，得a275，b225.经检验，此时0.所以椭圆方程为1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A2或2B1C2 D3【解析】由得k2x24(k2)x40，x1x24，k2(k1舍去)【答案】C2已知双曲线C：x21，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条B2条C3条D4条【解析】因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点
14、为(1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条【答案】B3已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 () 【导学号：15460053】A. B4 C3 D5【解析】抛物线y212x的焦点为(3,0)，故双曲线1的右焦点为(3,0)，即c3，故324b2，b25，双曲线的渐近线方程为yx，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.【答案】A4已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1
15、e21Cm1 Dmn且e1e2n2.m1，n0，mn.C1的离心率e1，C2的离心率e2，e1e21.【答案】A5已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若FA2FB，则k等于()A. B C D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24.FAx1x12，FBx2x22，且FA2FB，x12x22.由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)，得k.【答案】D二、填空题6若直线xym0与椭圆y21有且仅有一个公共点，则m_. 【导学号：15460054】【解析】将直线方程代
16、入椭圆方程，消去x，得到10y22mym290，令0，解得m.【答案】7已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|F1B|的值为_【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，由消去y，得3x24x0.A(0，1)，B.|AB|，|F1A|F1B|4a|AB|4.【答案】8在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_【解析】直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得yA2(yB0，tb0)的左焦点为F，离心率为，
17、过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值【解】(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.