1、解三角形中的常见几何命题1.三 角形中的三角恒等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.射影定理：.3.托勒密定理：圆内接四边形两对角线之积等于两对边乘积之和。托勒密定理的逆定理：凸四边形，若两对角线之积等于两对边乘积之和，则内接于圆。推广的托勒密定理：凸四边形中，二典例分析1锐角中，角，的对边分别为，面积.（1）求的值；（2）若，求的周长的取值范围.解析：（1）由题设，即，又，由，可得，即，.（2）由（1）及知：，且，为锐角三角形，当为最大边，则，可得；当为最大边，则，可得；综上，.2在中，角、所对的边分别是、，（1）求角：（2）若的周长为10，求面积的最大值解析：（1）由，又，所以
2、，因为,故（2）由已知可得，消去，可得，得（当且仅当时,取等号）解得（舍）或，故，则面积的最大值为1（2016新课标）在中，边上的高等于，则等于ABCD2（2016新课标）在中，边上的高等于，则ABCD3（2021浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则254（2017浙江）已知，点为延长线上一点，连结，则的面积是，5（2015重庆）在中，的角平分线，则6（2015新课标）在平面四边形中，则的取值范围是，7（2021新高考）记的内角
3、，的对边分别为，已知，点在边上，（1）证明：；（2）若，求8（2020江苏）在中，角、的对边分别为、已知，（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值二、真题集训1（2021浙江）在中，是的中点，则；2（2017全国）在中，为的中点，则3（2013福建）如图，在中，已知点在边上，则的长为4（2013广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形中，垂足为，则5（2017新课标）的内角，的对边分别为，已知，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积6（2015新课标）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍（1）求；（2）若，求和的长7（2015新课标）中，是上的点，平分，（）求（）若，求8 （2015
4、安徽）在中，点在边上，求的长典例分析答案题型二：解决平面几何中的问题1（2016新课标）在中，边上的高等于，则等于ABCD分析：作出图形，令，依题意，可求得，利用两角和的余弦即可求得答案解答：解：设中角、对应的边分别为、，于，令，在中，边上的高，在中，故，故选：点评：本题考查解三角形中，作出图形，令，利用两角和的余弦求是关键，也是亮点，属于中档题2（2016新课标）在中，边上的高等于，则ABCD分析：由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出，再由三角形面积公式，可得解答：解：在中，边上的高等于，由余弦定理得：，故，故选：点评：本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答
5、的关键3（2021浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则25分析：利用勾股定理求出直角三角形斜边长，即大正方形的边长，由，求出，再求出解答：解：直角三角形直角边的长分别为3，4，直角三角形斜边的长为，即大正方形的边长为5，则小正方形的面积，故答案为：25点评：本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力，属于基础题4（2017浙江）已知，点为延长线上一点，连结，则的面积是，分析：如图，取得中点，根据勾股定理求出，再求出，再
6、根据即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出解答：解：如图，取得中点，在中，故答案为：，点评：本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题5（2015重庆）在中，的角平分线，则分析：利用已知条件求出，然后利用正弦定理求出即可解答：解：由题意以及正弦定理可知：，即，可得，则，三角形是等腰三角形，故答案为：点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力6（2015新课标）在平面四边形中，则的取值范围是，分析：如图所示，延长，交于点，设，求出，即可求出的取值范围解答：解：方法一：如图所示，延长，交于点，则在中，设，而，的取值范围是，故答案为：，方法二：如下图，
7、作出底边的等腰三角形，倾斜角为的直线在平面内移动，分别交、于、，则四边形即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，直线接近点时，趋近最小，为；直线接近点时，趋近最大值，为；故答案为：，点评：本题考查求的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题7（2021新高考）记的内角，的对边分别为，已知，点在边上，（1）证明：；（2）若，求分析：（1）利用正弦定理求解；（2）要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解解答：解：（1）证明：由正弦定理知，即，；（2）法一：由（1）知，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，得，或，在中，由余弦定理知，当时，（舍；当时，；
8、综上所述，法二：点在边上且，而由（1）知，即，由余弦定理知：，或，在中，由余弦定理知，当时，（舍；当时，；综上所述，点评：本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题8（2020江苏）在中，角、的对边分别为、已知，（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值分析：（1）由题意及余弦定理求出边，再由正弦定理求出的值；（2）三角形的内角和为，可得为钝角，可得与互为补角，所以展开可得及，进而求出的值解答：解：（1）因为，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因为，所以，在三角形 中，易知为锐角，由（1）可得，所以在三角形中，因为，所以，所以点评：本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应
9、用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题真题集训答案1解：在中：，解得：或（舍去）点是中点，在中：，；在中：故答案为：；2解：在中，为的中点，可得，平方可得，即为，可得，可得为直角三角形，且，则，故答案为：103解：，在中，根据余弦定理得：，则故答案为：4解：矩形，在中，根据勾股定理得：，即，在中，根据余弦定理得：，则故答案为：5解：（1），由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故（2），6解：（1）如图，过作于，平分在中，在中，；分（2）由（1）知，过作于，作于，平分，令，则，由余弦定理可得：，的长为，的长为17解：（）如图，由正弦定理得：，平分，；（），由（）知，即8解：，在中，由余弦定理可得：分在中，由正弦定理可得：，分过点作的垂线，垂足为，由得：，中，分